第十一章
分工合作

工作，只是劳力、时间和效果三项的关联。费了多少力气，经过若干时间，得到什么效果，所谓工作的问题，不过如此。

关于计算工作的题目，它对我来说一向是有点儿神秘感的。今天马先生一写出这个标题，我便很兴奋。

“我们先讲原理吧！”马先生说，“其实，拆穿西洋镜的原理也很简单。 工作，只是劳力、时间和效果三项的关联。费了多少力气，经过若干时间，得到什么效果，所谓工作的问题，不过如此。 想透了，和运动的问题毫无两样，速度就是所费力气的表现，时间不用说就是时间，而所走的距离，正是所得到的效果。”

真奇怪！一经说明，我也觉得运动和工作是同一件事了，然而平时为什么想不到呢？

马先生继续说道：“在匀速运动中，基本的关系是：

“距离＝速度×时间。

“而在均一的工作中——所谓均一的工作，就是经过相同的时间，所做的工相等——基本的关系，便是：

“工作总量＝工作效率×工作时间。

“现在还是转到问题上去吧。”

例一： 甲四日可完成的事，乙需十日才能完成。若两人合做，一天可完成多少？几天可以做完？

不用说，这题的作图和关于行路的，骨子里没有两样。我们所踌躇的，就是行路的问题中，距离有数目表示出来，这里却没有，应当怎样处理呢？但这困难马上就解决了，马先生说：

“全部工作就算1，无论用多长表示都可以。不过为了易于观察，无妨以甲、乙二人做工的日数4和10的最小公倍数20将全部工作分为20等份，每一份即为一个单元小段。试用竖线表示工作，横线表示日数——两小段1日——甲、乙各自的工作线怎么画？”

到了这一步，我们没有一个人不会画了。 OA 是甲的工作线， OB 是乙的工作线。大家画好后争着给马先生看，其实他已知道我们都会画了，眼睛并不曾看到每个人的画上，尽管口里说“对的，对的”。大家回到座位上后，马先生便问：

“那么，甲、乙每人一日做多少工作？”

图上表示得很清楚，1 E 是四分之一，1 F 是十分之一。

“甲一天做四分之一，乙一天做十分之一。”差不多是全体同声回答。

“现在就回到题目上来，两人合做一日，完成多少？”马先生问。

“二十分之七。”王有道回答。

“怎么知道的？”马先生望着他。

“四分之一加上十分之一，就是二十分之七。”王有道。

“这是算出来的，不行。”马先生。

这可把我们难住了。

马先生笑着说：“人的事，往往如此，极容易的，常常使人发呆，感到不知所措。——1 E 是甲一日完成的，1 F 是乙一日完成的，把1 F 接在1 E 上，得 D 点，1 D 不就是两人合做一日所完成的吗？”

不错，从 D 点横着一看，正是二十分之七。

“那么，试把 OD 连起来，并且延长到 C 点，与 A 、 B 相齐。两人合做二日完成多少？”马先生问。

“二十分之十四。”我回答。

“就是十分之七。”周学敏加以修正。

“半斤自然是八两，现在我们倒不必管这个。”马先生说得周学敏有点儿难为情了，“几天可以完成？”

“三天不到。”王有道。

“为什么？”马先生。

“从点 C 看下来是二又十分之八的样子。”王有道。

“为什么从点 C 看下来就是呢？周学敏！”马先生指定他回答。

我倒有点儿替他着急，然而出乎意料之外，他立刻回答道：

“均一的工作，每天完成的工作量是一样的，所以若干天完成的工作量和一天完成的工作量，是‘定倍数’的关系。 OC 线正表示这关系， C 点又在表示全部工作的横线上，所以 OK 便是所求的日数。”

“不错！讲得很透彻！”马先生非常满意。

周学敏进步得真快！下课后，因为钦敬他的进步，我便找他一起去散步。边散步，边谈，没说几句话，就谈到算学上去了。他说，感觉我这几天像是个“算学迷”，这样下去会成“算学疯子”的。不知道他是不是在和我开玩笑，不过这十几天，对于算学我深感舍弃不下，却是真情。我问他，为什么进步这么快？他却不承认有什么大的进步。我便说：

“有好几次，你回答马先生的问话，都完全正确，马先生不是也很满意吗？”

“这不过是听了几次讲以后，我就找出马先生的法门来了。说来说去，不外乎三种关系：一、和一定；二、差一定；三、倍数一定。所以我就只从这三点上去想。”周学敏这样回答。

对于这回答，我非常高兴，但不免有点儿惭愧，为什么同样听马先生讲课，我却不会捉住这法门呢？而且我也有点儿怀疑：“这法门一定灵吗？”

我便这样问他，他想了想：“这我不敢说。不过，过去都灵就是了，抽空我们去问问马先生。”

我真是对数学着迷了，立刻就拉着他一同去。走到马先生的房里，他正躺在藤榻上冥想，手里拿着一把蒲扇，不停地摇，一见我们便笑着问道：

“有什么难题了，是不是？”

我看了周学敏一眼，周学敏说：“听了先生这十几节课，觉得说来说去，总是‘和一定’‘差一定’‘倍数一定’，是不是所有的问题都逃不出这三种关系呢？”

马先生想了想：“就问题的变化上说，自然是如此。”

这话我们不是很明白，他似乎看出来了，接着说：“比如说，两人年岁的差一定，这是从他们一生下来就可以看出来的。又比如，走的路程和速度是定倍数的关系，这也是从时间的连续中看出来的。所以就问题的变化上说，逃不出这三种关系。”

“为什么逃不出？”我大胆地提出疑问，心里有些忐忑。

“不是为什么逃不出，是我们不许它逃出。因为我们对于数量的处理，在算学中，只有加、减、乘、除四种方法。加法产生和，减法产生差，乘、除法产生倍数。”

我们这才明白了。后来又听马先生谈了些别的问题，我们就出来了。因为这段话是理解算学的基本，所以我补充在这里。现在回到本题的算法上去，这是没有经马先生讲解，我们都知道了的。

马先生提示一个别解法，更是妙：“把工作当成行路一般看待，那么，这问题便可看成甲从一端动身，乙从另一端动身，两人几时相遇一样。”

当然一样呀！我们不是可以把全部工作看成一长条，而甲、乙各从一端相向进行工作，如卷布一样吗？

这一来，图解法和算法更是容易思索了。图中 OA 是甲的工作线， CD 是乙的， OA 和 CD 交于点 E 。从点 E 看下来仍是二又十分之八多一点。

例二： 一水槽装有进水管和出水管各一支，进水管八小时可流满，出水管十二小时可流尽，若两管同时打开，几小时可流满？

这题和例一的不同，就事实上一想便可明白，每小时槽里储蓄的水量，是两水管流水量的差。而例一作图时，将1 F 接在1 E 上得点 D ，1 D 表示甲、乙工作效率的和。这里自然要从1 E 截下1 F 得1 D ，表示两水管流水速度的差。流水就是水管在工作呀！所以 OA 是进水管的工作线， OB 是出水管的工作线， OC 便是它们俩的工作效率差，而表示定倍数的关系。由 C 点看下来得二十四小时，算法如下：

当然，这题也可以有一个别解。我们可以想象为：出水管距入水管有一定的路程，两人同时动身，进水管从后面追出水管，求什么时候能追上。 OA 是出水管的工作线，1 C 是进水管的工作线，它们相交于点 E ，横看过去正是二十四小时。

例三： 甲、乙二人合做十五日完工，甲一人做二十日完工，乙一人做几日完工？

“这只是由例一推衍的玩意儿，你们应当会做了。”结果马先生指定我画图和解释。

不过是例一的图中先有了 OA ， OC 两条线而求画 OB 线，照前例，所取的 ED 应在1日的纵线上且应等于1 F 。依 ED 取10 F 便可得 F 点，连结 OF 并延长便得 OB 。在我画图的时候，本是照这样在1日的纵线上取1 F 的。但马先生说，那里太窄了，容易画错，因为 OA 和 OC 间的纵线距离和同一纵线上 OB 到横线的距离总是相等的，所以无妨在其他地方取点 F 。就图看去，在10这点，向上到 OA ， OC ，相隔正好是五小段。我就从10向上五小段取点 F ，连 OF 并延长到与点 C ， A 相齐，得 B 点，竖看下来是60。乙要做六十日才能做完。对于这么大的答数，我有点儿放心不下，好在马先生没有说什么，我就认为对了。后来计算的结果，确实是要六十日才做完。

本题照别的解法做，那就和这样的题目相同：

——甲、乙二人由两地同时动身，相向而行，十五小时在途中相遇，甲走完全程需二十小时，乙走完全程需几小时？

先作 OA 表示甲的工作，再从十五日这点画纵线和 OA 交于 E 点，连 DE 并延长到点 C ，便得六十日。

例四： 甲、乙二人合做一工，五日完成三分之一，其余由乙独做，十六日完成，甲、乙独做全工各需几日？

“这题难不难？”写完题，马先生这样问。

“难者不会，会者不难。”周学敏很顽皮地回答。

“你是难者，还是会者？”马先生跟着问周学敏。

“二人合做，五日完成三分之一，五日和工作三分之一的两条线交于点 K ，连 OK 并延长得 OC ，这是两人合做的工作线，所以两人合做共需十五日。”周学敏。

“最后一句是不必要的。”马先生加以纠正。

“从五日后再做十六日共是二十一日，二十一日这点的纵线和全工作这点的横线交于点 H ，连 KH 便是乙接着独做十六日的工作线。”

“对的！”马先生赞赏地说。

“过点 O 作 OA 和 KH 平行，这是乙一人独做全工作的工作线，他二十四日做完。”周学敏说完停住了。

“还有呢？”马先生催促他。

“在十日这点的纵线上量点 D 、 E 间的距离 ED ，从10这点起量10 F 等于 ED ，得 F 点。连 OF 并且延长，得 OB ，这是甲的工作线，他一人独做需四十日。”周学敏真是有了可惊的进步，他的算学从来不及王有道呀！

马先生夸奖他说：“周学敏，你已经掌握了解决问题的钥匙了。”

这题当然也可用别的解法做，不过和前面几题大同小异，所以略去，至于它的算法，那就是：

例五： 甲、乙、丙三人合做一工程，八日做完一半。由甲、乙二人继续，又是八日完成剩余的五分之三。再由甲一人独做，十二日完成。甲、乙、丙独做全工，各需几日？

马先生写完题，王有道随口说：“越来越复杂。”

马先生听了含笑说：“应当说越来越简单呀！”

大家都不说话，题目明明复杂起来了，马先生却说“应当说越来越简单”，岂非奇事。然而他的解说是：“前面几个例题的解法，如果己经彻底明了了，这个题不就只是照抄老文章便可解决了吗？有什么复杂呢？”

这自然是没错的，不过抄老文章罢了！

（1）先依八日做完一半这个条件画 OF ，是三人合做八日的工作线，也是三人合做的工作线的方向。

（2）由点 F 起，依八日完成剩余工作的五分之三这个条件，作 FG ，这便表示甲、乙二人合做的工作线的“方向”。

（3）由点 G 起，依十二日完成这条件，作 GH ，这便表示甲一人独做的工作线的“方向”。

（4）过点 O 作 OA 平行于 GH ，得甲一人独做的工作线，他要六十日才做完。

（5）过点 O 作 OE 平行于 FG ，这是甲、乙二人合做的工作线。

（6）在10这点的纵线和 OA 交于点 J ，和 OE 交于点 I 。照10 J 的长，由点 I 截下来得点 K ，连 OK 并且延长得 OB ，就是乙一人独做的工作线，他要四十八日完成全部工作。

（7）在8这点的纵线和甲、乙合做的工作线 OE 交于点 L ，和三人合作的工作线 OF 交于点 F 。从8起在这纵线上截8 M 等于 LF 的长，得 M 点。连 OM 并且延长得 OC ，便是丙一人独做的工作线，他四十日就可完成全部工作了。

作图如此，算法也易于明白。

例六： 一工程，甲、乙合做三分之八日完成，乙、丙合做三分之十六日完成，甲、丙合做五分之十六日完成，一人独做各几日完成？

“这倒是真正地越来越复杂，老文章不好直抄了。”马先生说。

“不管三七二十一，先把每两人合做的工作线画出来。”没有人回答，马先生接着说。

这自然是抄老文章， OL 是甲、乙合做的工作线， OM 是乙、丙合做的工作线， ON 是甲、丙合做的工作线，马先生叫王有道在黑板上画了出来。随手他将在 L 点的纵线和 ON 、 OM 的交点涂了涂，写上 D 和 E 。

“ LD 表示什么？”

“乙、丙的工作差。”王有道。

“好，那么从 E 点在这纵线上截去 LD 得点 G ， 到点 G 是什么？”

“乙的工作。”周学敏。

“所以，连 OG 并且延长到点 B ，就是乙一人独做的工作线，他要八天完成。再从点 G 起，截去一个 LD 得点 H ， 到点 H 是什么？”

“丙的工作。”我回答。

“连 OH ，延长到点 C ， OC 就是丙独自一人做的工作线，他完成全工作要十六天。”

“从点 D 起截去 H 得点 F ， F 不用说是甲的工作。连结 OF ，延长得 OA ，这是甲一人独做的工作线。他要几天才能做完全部工程？”

“四天。”大家很高兴地回答。

这题的算法是如此：

马先生结束这一课说：

“这堂课到此为止。下堂课想把四则问题做一个结束，就是将没有讲到的还常见的题都讲个大概。你们也可提出觉得困难的问题来。其实四则问题，这个名词本不大妥当， 全部算术所用的方法除了加、减、乘、除，还有什么？所以，全部算术的问题都是四则问题。 ” 7fpr64+6DCo+eLlsBSkkx8W3EmQTK1mJbkZ+YeFZm6kzruhV8PonuMelCFFZLLtK