第十章
鸟兽同笼问题

假如别人另外给二元六角钱要小三子重新去买，这次他总算没有弄反。那么，这人各买到邮票多少张？

一听到马先生说：“这次来讲鸟兽同笼问题。”我便知道是鸡兔同笼这一类了。

例一： 鸡、兔同一笼共十九个头，五十二只脚，求鸡、兔各有几只？

不用说，这题目包含一个事实条件，鸡是两只脚，而兔是四只脚。

“依头数说，这是‘和一定’的关系。”马先生一边说，一边画 AB 线。

“但若就脚来说，两只鸡的才等于一只兔的，这又是‘定倍数’的关系。假设全是兔，兔应当有十三只；假设全是鸡，就应当有二十六只。由此得 CD 线，两线交于 E 点。竖看得七只兔，横看得十二只鸡，这就对了。”

七只兔，二十八只脚，十二只鸡，二十四只脚，一共正好五十二只脚。

马先生说：“这个想法和通常的算法正好相反，平常都是假设头数全是兔或鸡，是这样算的：

（4×19－52）÷（4－2）＝12——鸡

（52－2×19）÷（4－2）＝7——兔

“这里却假设脚数全是兔或鸡而得 CD 线，但试从下表一看，便没有什么想不通了。图中 E 点所示的一对数，正是两表中所共有的。

“就头说，总数是19，—— AB 线上的各点所表示的：

“就脚说，总数是52，—— CD 线上各点所表示的：

“一般的算法，自然不能由这图上推想出来，但中国的一种老算法，却从这图上看得清清楚楚，那算法是这样的：

“将脚数折半， OC 所表示的，减去头数， OA 所表示的，便得兔的数目， AC 所表示的。”

这类题，马先生说还可归到混合比例去算，以后拿这两种算法来比较，更有趣味，所以不多讲。

例二： 鸡、兔共二十一只，脚的总数相等，求各有几只？

照前例用 AB 线表示“和一定”总头数二十一的关系。

因为鸡和兔脚的总数相等，不用说，鸡的只数是兔的只数的二倍了。依“定倍数”的表示法作 OC 线。

由 OC 和 AB 的交点 D 得知兔是七只，鸡是十四只。

例三： 小三子替别人买邮票，要买四分和二分的各若干张，他将数目说反了，二块八角钱找回二角，原来要买的数目是多少？

“对比例一来看，这道题怎样？”马先生问。

“只有脚，没有头。”王有道很滑稽地说。

“不错！”马先生笑着说，“只能根据脚数表示两种张数的倍数关系。第一次的线怎么画？”

“全买四分的，共七十张；全买二分的，共一百四十张，得 AB 线。”王有道。

“第二次的呢？”

“全买四分的，共六十五张；全买二分的，共一百三十张，得 CD 线。”周学敏。但是 AB ， CD 没有交点，大家都呆着脸望着马先生。

马先生说：“照几何上的讲法，两条线平行，它们的交点在无穷远处，这次真是‘差之毫厘，失之千里’了。小三子把别人的数弄反了，你们却把小三子的数弄倒了。”他将 CD 线画成 EF ，得交点 G 。横看，四分的五十张，竖看二分的四十张，总共恰好二元八角。

马先生要我们离开了图来想算法，给我们这样提示：“ 假如别人另外给二元六角钱要小三子重新去买，这次他总算没有弄反。那么，这人各买到邮票多少张？ ”

不用说，前一次的差是一和二，这一次的便是二和一；前次的差是三和五，这次的便是五和三。这人的两种邮票的张数便一样了。

但是总共用了（2.8 ^元 ＋2.6 ^元 ）钱，这是周学敏想到的。

每种一张共值（4 ^分 ＋2 ^分 ），我提出这个意见。

跟着，算法就明白了。

（2.8 ^元 ＋2.6 ^元 ）÷（4 ^分 ＋2 ^分 ）＝90——总张数

（4×90－280）÷（4－2）＝40——二分的张数

90－40＝50——四分的张数 tXvjnce0AUOfOgcI2W9zqXZp17IdcxoovXMJRkmUmox5OtOwhlHLquYuWZiFX7uI