第八章
年龄的关系

比如这次要讲的年龄的关系的题目，大体可分两种，即每题中或是说到两个以上的人的年龄，要求它们的或从属关系成立的时间，或是说到他们的年龄或从属关系而求得他们的年龄。

“你们会猜谜吗？”马先生出乎意料地提出这么一个问题，大概是问题来得突兀的缘故，大家都默然。

“据说从前有个人出了个谜给人猜，那谜面是一个‘日’字，猜杜诗一句，你们猜是什么句子？”说完，马先生便呆立着望向大家。

没有一个人回答。

“无边落木萧萧下。”马先生说，“怎样解释呢？这就说来话长了，中国在晋以后分成南北朝，南朝最初是宋，宋以后是萧道成所创的齐，齐以后是萧衍所创的梁，梁以后是陳 霸先所创的陳。‘萧萧下’就是说，两朝姓萧的皇帝之后，当然是‘陳’。‘陳’字去了左边是‘東’字，‘東’字去了‘木’字便只剩‘日’字了。这样一解释，这谜好像真不错，但是出谜的人可以‘妙手偶得之’，而猜的人却只好暗中摸索了。”

这虽然是一件有趣的故事，但我，也许不只我，始终不明白

马先生在讲算学时突然提到它有什么用意，只得静静地等待他的讲解了。

“你们觉得我提出这故事有点儿不伦不类吗？其实，一般教科书上的习题，特别是四则应用问题一类，倘若没有例题，没有人讲解、指导，对于学习的人，也正和谜面一样，需要你自己去摸索。摸索本来不是正当办法，所以处理一个问题，必须有一定步骤。第一，要理解问题中所包含而没有提出的事实或算理的条件。

“ 比如这次要讲的年龄的关系的题目，大体可分两种，即每题中或是说到两个以上的人的年龄，要求它们的或从属关系成立的时间，或是说到他们的年龄或从属关系而求得他们的年龄。

“但这类题目包含着两个事实以上的条件，题目上总归不会提到的：其一，两人年龄的差是从他们出生起就一定不变的；其二，每多一年或少一年，两人便各长一岁或小一岁。不懂得这个事实，这类的题目便难于摸索了。这正如上面所说的谜语，别人难于索解的原因，就在不曾把两个‘萧’，看成萧道成和萧衍。话虽如此，毕竟算学不是猜谜，只要留意题上没有明确提出的，而事实上存在的条件，就不至于暗中摸索了。闲言表过，且提正文。”

例一： 当前，父年三十五岁，子年九岁，几年后父年是子年的三倍？

写好题目，马先生说：“不管三七二十一，我们先把表示父和子的年岁的两条线画出来。在图上，横轴表示岁数，纵轴表示年数。父现在年三十五岁，以后每过一年增加一岁，用 AB 线表示。子现在年九岁，以后也是每过一年增加一岁，用 CD 线表示。

“过五年，父年几岁？子年几岁？”

“父年四十岁，子年十四岁。”这是谁都能回答上来的。

“过十一年呢？”

“父年四十六岁，子年二十岁。”也还是谁都能回答上来的。

“怎样看出来的？”马先生问。

“从 OY 线上记有5的那点横看到 AB 线得 E 点，再往下看，就得四十，这是五年后父的年岁。又看到 CD 线得 F 点，再往下看得十四，就是五年后子的年岁。”我回答。

“从 OY 线上记有11的那点横看到 AB 线得 G 点，再往下看，就得四十六，这是十一年后父的年岁。又看到 CD 线得 H 点，再往下看得二十，就是十一年后子的年岁。”周学敏抢着，而且故意学着我的语调回答。

“对了！”马先生高叫一句，突然愣住。

“5 E 是5 F 的3倍吗？”马先生问后，大家摇摇头。

“11 G 是11 H 的3倍吗？”仍是一阵摇头，不知为什么今天只有周学敏这般高兴，扯长了声音回答：“不——是——”

“现在就是要找在 OY 上的哪一点到 AB 的距离是到 CD 的距离的3倍了。当然我们还是应当用画图的方法，不可硬用眼睛看。等分线段的方法，还记得吗？在讲除法的时候讲过的。”

王有道说了一段等分线段的方法。

接着，马先生说：“先随意画一条线 AK ，从 A 点起在上面取 A l，12，23相等的三段。连结 C 2，过3作线平行于 C 2，与 OA 反向延长线交于点 M 。过点 M 作线平行于 CD ，与 OY 交于4，这就得了。”

四年后，父年三十九岁，子年十三岁，正是父年三倍于子年，而图上的4 P 也恰好3倍于4 Q ，真是奇妙！然而为什么这样画就行了，我却不太明白。

马先生好像知道我的心事一般：“现在，我们应当考求这个画法的来源。”他随手在黑板上画出上图，要我们看了回答 B ₁ C ₁ ， B ₂ C ₂ ， B ₃ C ₃ ， B ₄ C ₄ ，各对于 A ₁ B ₁ ， A ₂ B ₂ ， A ₃ B ₃ ， A ₄ B ₄ 的倍数是否相等。当然，谁都可以看得出来，这倍数都是2。

大家回答了以后，马先生说：“这就是说，一条线被平行线分成若干段，无论这条线怎样画，这些段数的倍数关系都是相同的。所以图35中，4 P 对于4 Q ，和 MA 对于 MC ，也就和3 A 对于32的倍数关系是一样的。”

这我就明白了。

“假如，题上问的是6倍，怎么画？”马先生问。

“在 AK 上取相等的6段，连 C 5，画6 M 平行于 C 5。”王有道回答。这，现在我也明白了，因为 OY 到 AB 的距离 ^[1] ，无论是 OY 到 CD 的距离的多少倍，但 OY 到 CD ，总是这距离的一倍，因而总是将 AK 上的倒数第二点和 C 点相连，而过末一点作线和 CD 平行。

至于这题的算法，马先生叫我们据图加以探究，我们看出 CA 是父子年岁的差，和 QP ， FE ， HG 全一样。而当4 P 是4 Q 的3倍时， MA 也是 MC 的3倍，并且在这地方4 Q ， MC 都是所求的若干年后的子年。因此得下面的算法：

讨论完毕以后，马先生一句话不说，将图37画了出来，指定周学敏去解释。

我倒有点儿幸灾乐祸的心情，因为他学过我，但事后一想，这实在无聊。他的算学虽不及王有道，这次却讲得很有条理，而且真是简单、明白。下面的一段，就是周学敏讲的，我一字没改记在这里以表忏悔！

别解：

“父年三十五岁，子年九岁，他们相差二十六岁，就是这个人二十六岁时生这儿子，所以他二十六岁时，他的儿子是零岁。以后，每过一年，他大一岁，他的儿子也大一岁。依差一定的表示法，得 AB 线。题上要求的是父年三倍于子年的时间，依倍数一定的表示法得 OC 线，两线相交于 D 点。依交叉原理， D 点所示的，便是合于题上的条件时，父子各人的年岁：父年三十九，子年十三。从三十五到三十九和从九到十三都是四，就是四年后父年正好是子年的三倍。”

对于周学敏的解说，马先生也非常满意，他评价了一句：“不错！”就写出例二。

例二： 当前，父年三十六岁，子年十八岁，几年后父年是子年的三倍？

这题看上去自然和例一完全相同。马先生让我们各自依样画葫芦，但一动手，便碰了钉子，过 M 点所画的和 CD 平行的线与 OY 却交在下面9的地方。这是怎么一回事呢？

马先生始终让我们自己去做，一声不吭。后来我从这9的地方横看到 AB ，再竖看上去，得父年二十七岁；而看到 CD ，再竖看上去，得子年九岁，正好父年是子年的三倍。到此我才领悟过来，这在下面的9，表示的是九年以前。而这个例题完全是马先生有意弄出来的。这么一来，我还知道几年前或几年后，算法全是一样，只是减的时候，被减数和减数不同罢了。本题的计算应当是：

我试用别的解法做，得图39， AB 和 OC 的交点 D ，表明父年二十七岁时，子年九岁，正是三倍，而从三十六回到二十七恰好九年，所以本题的解答是九年以前。

例三： 当前，父年三十二岁，一子年六岁，一女年四岁，几年后，父的年岁与子女二人年岁的和相等？

马先生问我们这个题和前两题的不同之处，这是略一——我现在也敢说“略一”了，真是十分欣幸！思索就知道的，父的年岁每过一年只增加一岁，而子女年岁的和每过一年却增加两岁。所以从现在起，父的年岁用 AB 线表示，而子女二人年岁的和用 CD 表示。

AB 和 CD 的交点 E ，竖看是五十四，横看是二十二。从现在起，二十二年后，父年五十四岁，子年二十八岁，女年二十六岁，相加也是五十四岁。

至于本题的算法，图上显示得很清楚。 CA 表示当前父的年岁同子女俩年岁和的差，往后看去，每过一年这差减少一岁，当少到了零，便是所求的时间，所以：

这题有没有别解，马先生不曾说，我也没有想过，而是王有道将它补出来的：

AB 线表示现在父的年岁同着子女俩的年岁，以后一面逐年增加一岁，而另一面增加二岁， OC 表示两面相等，即一倍的关系。这都容易想出。只有 AB 线的 A 点不在最末一条横线上，这是王有道的巧思，我只好佩服了。据王有道说，他第一次也把 A 点画在32的地方，结果不符。仔细一想，才知道错得十分可笑。原来那样画法，是表示父年三十二岁时，子女俩年岁的和是零。由此他想到子女俩的年岁的和是十，就想到 A 点应当在第五条横线上。虽是如此，我依然佩服！

例四： 当前，祖父八十五岁，长孙十二岁，次孙三岁，几年后祖父的年岁是两孙年岁和的三倍？

这例题是马先生留给我们做的，参照了王有道的补充前题的别解，我也由此得出它的图来了。因为祖父年八十五岁时，两孙共年十五岁，所以得 A 点。以后祖父加一岁，两孙共加两岁，所以得 AB 线。 OC 是表示定倍数的。两线的交点 D ，竖看得九十三，是祖父的年岁；横看得三十一，是两孙年岁的和。从八十五到九十三有八年，所以得知八年后祖年是两孙年的三倍。

本题的算法，是我曾经从一本算学教科书上见到的：

[85－（12＋3）×3]÷（2×3－1）＝（85－45）÷5＝8

它的解释是这样：就当前说，两孙共年（12＋3）岁，三倍是（12＋3）×3，比祖父的年岁还少[85－（12＋3）×3]，这差出来的岁数，就需由两孙每年比祖父多加的岁数来填足。两孙每年共加两岁，就三倍计算，共增加2×3岁，减去祖父增加的一岁，就是每年多加（2×3－1）岁，由此便得上面的计算法。

这算法能否由图上得出来，以及本题照前几例的第一种方法是否可解，我们没有去想，也不好意思去问马先生，因为这好像应当用点儿心自己回答，只得留待将来了。

注释：

[1] 此处表述有误，应是过 M 点平行于 AB 的线与 OY 的交点到 AB 的距离。下文OY到CD的距离与此类似。 tg+rku3YgnxD5KGaZ0JujxBhp2ehw3RRhjwWp+prOOrj/1k4mHsK/x8YYioLZR+G