下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
相关数学家：
毕达哥拉斯
结论：
证明在数学中至关重要，这一观点可以追溯到毕达哥拉斯和他著名的定理。
要问数学定理中最著名的是哪一个，肯定会有人回答说是毕达哥拉斯定理（勾股定理）。这是为数不多能让孩子们烂熟于心的数学定理之一：“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。”“斜边”（hypotenuse）这个词来自希腊语，意思是“拉伸”，指与直角相对的最长边。
但这一定理并不算是毕达哥拉斯的观点。即使毕达哥拉斯这个人真的存在，这一观点也早在他出现的1 000多年前就有了。何况我们没法确定他真的存在，“毕达哥拉斯”或许仅仅指的是一个有着相同观念的宗教团体。巴比伦人知道——巴比伦人泥板可以佐证；古埃及人很可能也知道——看看金字塔，清一色的直角三角形；古代中国人也知道；公元前600年左右，古印度的《绳法经》（ Shulba Sutra ）中也有相关记载。
毕达哥拉斯所做的，只是给出一个证明，甚至可能不算是首个证明。从那以后，无数证明纷至沓来，可能比任何其他数学思想都多。但是毕达哥拉斯的证明方法地位稳固，“理论需要证明”这个想法也是如此。的确，证明已经成了数学的基石，而且人们对证明的探索打破了时间的限制，跨越了多个世纪，著名的费马大定理 （参阅此处） 就是如此。
人人都传毕达哥拉斯其实是个“嬉皮士”，他在西西里岛创办了一个学派。他的追随者必须遵守一些奇怪的规则：不许触摸白羽毛（白公鸡），也不得朝着太阳“放水”。他们还得戒食豆类，因为毕达哥拉斯相信轮回，显然他担心自己的灵魂可能会转世成豆子。而且毕达哥拉斯一直在寻找自然界中的数学之美。这就是他研究乐音产生方式的原因，并且他还发现了不同音高之间的数学关系。例如，两倍张力的竖琴弦，会发出两倍高的声音。毕达哥拉斯甚至认为恒星和行星旋转时也具有特殊的音调。
正是抱着这种对世界上数学存在的形式的精神追求，他发现了平方。他以规则的形式摆放石头：横排和竖排都排列数量相等的小卵石，摆出一个正方形。它可能是横着2个卵石，竖着2个卵石，或者横着3个卵石，竖着3个卵石。因此，正方形中的卵石数量是每一侧卵石数量的“平方”：2乘2等于4，3乘3等于9，依此类推。
他可能是通过摆石头方阵这样的方式来变换形状，并以此获得有关直角三角形的证明的。事实上，为了区别于其他证明方法，毕达哥拉斯的证明通常被称为“重新排列证明法”。
他的证明方法很简单：在一个以一定角度倾斜的正方形内部，作一个较小的正方形。这个小正方形的四个顶角，内接大正方形的四条边。这样大正方形的四个角就对应出现了四个直角三角形；而小正方形的四条边，对应的是几个直角三角形的斜边。
如果将三角形重新成对排列，使每个三角形的斜边相对，你将得到两个矩形。将这两个矩形放在大正方形内，大正方形内应有两个较小的正方形以及这两个矩形。由于四个三角形的面积不变，因此第一种排列中内接正方形的面积，必然等于第二种排列中两个较小正方形的面积。换言之，第一种排列中的正方形边长是直角三角形的斜边；第二种排列中两个较小正方形的边长分别是直角三角形的两个直角边。因此，斜边的平方等于其他两条边的平方和。
欧几里得对毕达哥拉斯的证明
这个证明方法非常简单，且无可辩驳。但是，毕达哥拉斯之后的数学家们希望采用更数学的方式去证明，而不是简单地分割重排。欧几里得在其伟大的几何学书籍《几何原本》（约公元前300年）中设计了一种更复杂的证明，使用了理论几何逻辑而非重新排列的方法。他先以直角三角形的每一边为边长绘制了三个正方形，然后在正方形和三角形的角之间构建了全等三角形。通过一系列逻辑步骤，他可以证明该定理必然正确。自那以后，欧几里得的理论证明为几何证明奠定了基础。
爱因斯坦后来又提出了一个巧妙的证明。他虽然也像毕达哥拉斯一样切分了三角形，但并不用重新排列。与此同时，其他数学家则从纯代数的角度提出了证明。
该定理也导致了无理数的发现。无理数指无法表示为两个整数之比的数字。毕达哥拉斯学派的基本理念认为所有数字都是有理数，而边长为1的直角三角形斜边长为
，这一发现明显与毕达哥拉斯的观点相左。因此，传说中证明了
是无理数的希帕索斯被溺死在水里。
除了在纯数学理论中被使用，直角三角形还可以用来测量山脉的陡度、屋顶的坡度，或证明两堵墙是否呈直角垂直。毕达哥拉斯定理的标志性特征就是简单，但这并没有影响它在数学公式中的地位，甚至可以说，它在重要性和使用的广泛性方面无出其右者。