下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
相关数学家：
古埃及人、古希腊人
结论：
由于π是一个超越数，“化圆为方”不可能。
“化圆为方”是古代数学家面前最古老的一项挑战。仅用尺规作图，能否画出一个面积与给定圆相同的正方形？本质上，这可以归结为求π精确值的问题。π，指圆的周长与直径之比。如果假定圆的半径 r 为一个长度单位（可以是1毫米，也可以是1千米），圆的面积就为π r 2 或π平方单位。具有相同面积的正方形边长将为π的平方根，即约为1.772单位。
这个问题在古埃及的《莱因德纸草书》（
Rhind Papyrus
，参阅下一节）中得到了初步解答。书中记载的计算方法，是针对圆形区域的面积求一个粗略的值。这一方法所采用的规则是切掉圆直径的
，以剩余直径的长度为边长，从而得到一个面积与圆相似的正方形，即取π的近似值为
或3.160 49——这个值相当接近我们现在所采用的π值3.141 59。尽管非常接近，但还是没有解决化圆为方问题。然而，这场关于化圆为方的竞赛在希腊人加入之后才真正拉开帷幕。
公元前440年左右，阿那克萨戈拉被关押在雅典。据记载，他是第一个研究化圆为方问题的希腊人。几年后，安提丰想了一个办法，他先作了一个圆内接正方形，然后将边数加倍，可以得到一个内接八边形，接着再将边数加倍，又能得到一个内接十六边形，依此类推，直到他能计算出来的多边形面积几乎和圆相等。
与此同时，希俄斯的希波克拉底（不要与来自科斯岛的同名医师混淆）以等腰直角三角形的三条边为直径作了三个半圆。这三个半圆所围成的两个月牙（以两个重叠的圆为界限的新月形区域）的面积之和，等于该三角形的面积。然后，他所要做的就是作一个和该三角形面积相等的正方形。不过，他最终没能解决这个问题。
希波克拉底的方法
几个世纪以来，许多数学家都在试图解决这个问题，但这个问题似乎没有答案。“化圆为方”也被人们赋予了新的含义——尝试去做那些不可能的事情，比如阻止潮水的流动。
维多利亚时代的数学家查尔斯·路德维希·道奇森以“刘易斯·卡罗尔”为笔名，创作了《爱丽丝梦游仙境》。他热衷于揭穿那些声称能够化圆为方的虚假理论。1855年，他在日记中写道，希望写本书来探讨一下“化圆为方者得知道的几个简单事实”。
想要化圆为方，首先你得作一条长度为
的线。1837年，有研究表明，长度为整数、有理数（例如
）甚至某些无理数的情况下，可以作特定长度的线。无理数是指那些不能仅用含有整数的分数来表示的数字。因此，
是有理数，
也是有理数。但
是无理数，我们可以写作1.414 213 562 373 1，但它不等于任何整数相除的值，并且小数位不会重复。不像
，我们可以写作0.142 857 142 857 142 857…，虽然也除不尽，但小数位是重复的。
虽然是无理数，但也可以写成具有整数系数的方程的乘积：
x
2
＝2。这样一来，它就成了一个代数数，我们便可以作长度为任意代数数的线。
不幸的是，π不仅是无理数，还是超越数。这意味着，π并不能通过上述方程式计算出来。1882年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了π是超越数。因此，我们无法作长度为
（或）的线。
证明某一数字是超越数确实非常困难，但绝大部分实数都是超越数。当代数学研究中，还有许多数字尚未被证明到底是代数数还是超越数。要想证明一个数字是超越数，必须证明它不是任何代数方程的根。鉴于有这么个典型特征，绝大多数超越数都很难被用到，因为它们都极难处理。
在数论中，人们常把林德曼的发现，与和他同一时期的卡尔·魏尔斯特拉斯的发现相结合，并称为“林德曼－魏尔斯特拉斯定理”。该定理采用了一系列复杂的证明去验证数字的超越性。由该定理可以直接得出，π和e都是超越数。这两个数也是迄今为止最常用的超越数。
通过证明π是超越数，林德曼－魏尔斯特拉斯定理同时证明了人们无法作出长度为π的线。这一来自19世纪数论的结果，解决了几个世纪以来的经典几何问题。至此，人们彻底证明了化圆为方并不可能。