引言

数学以其自身模式和精妙之处区别于其他学科。这门学科的发展并不依赖外在的物质世界，比如铅的重量、天空的蓝色、火药的可燃性……数学上取得的进步往往源于纯粹的洞察力和逻辑。直至今日，数学家们在谱写属于他们的数学奇迹时也不过是用纸和笔。

实验表明，乌鸦、大鼠、黑猩猩等许多动物的计数能力都令人惊叹。这么看来，要说早期人类也有不掰手指做心算的本事，倒在情理之中。

毕达哥拉斯是最早的数学先驱之一。约公元前580年，他出生于古希腊的萨摩斯岛，后来在意大利南部的克罗托内创办了一所数学学校。在这所学校里，他的追随者们戒食豆子、不许碰白色羽毛，也不许在阳光下撒尿。虽然不是他创造了著名的毕达哥拉斯定理（ a ² ＋ b ² ＝ c ² ），但他证明了这一定理。事实上，他引入了“证明”的概念，这是数学的基本原则之一。在数学这门学科中，证明即一切；反之，科学无法证明任何东西。科学家能够推翻某一观点，但永远无法证明它。

证明是费马大定理的关键所在。在讨论毕达哥拉斯定理的那一章页边空白处，法国律师皮埃尔·德·费马写道：当整数 n 大于2时，关于 x、y、z 的方程 x ⁿ ＋ y ⁿ ＝ z ⁿ 没有正整数解。除此之外，他还写了一句话：“我发现了一个绝妙的证明方法，不过这面的页边实在太窄了，写不下。”不过，他的这一说法直到1665年他去世后，才为世人所知。之后长达330年的时间里，杰出的数学家们苦寻他的证法，却徒劳无功。直到1994年，安德鲁·怀尔斯终于解决了这个难题。但是，怀尔斯的证明足足列了150页，还使用了在费马那个时代还未知的数学方法。因此，我们可能永远都不会知道当时的费马是否说了真话。

数学常用于解谜。比萨的莱昂纳多（以“斐波那契”这个名字为人所知）在《计算之书》（ Liber Abaci ，1202）中以谜题的形式引入了一串新奇的数列。他让读者们想象有一对幼兔，它们长大要一个月的时间，然后再过一个月，就能生下一对小兔子。而它们生下的这对小兔子，长大又要一个月。那么问题来了：“每个月的月底会有几对兔子？”答案是1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。这个数列可以无限递推，其中每一项都等于前两项之和。大自然中，斐波那契数列随处可见。比方说，花通常有3、5或8片花瓣；松果上的鳞片通常在顺时针方向呈现8条螺旋线，在逆时针方向呈现13条螺旋线。斐波那契才智过人，他还学会了阿拉伯数字系统，并将其引入西方世界。

如果没有这些前辈，紧随其后的数学拓荒者们就永远都无法获得更多发现。没有斐波那契，牛顿和莱布尼茨就不会发明微积分；没有微积分，欧拉、高斯、拉格朗日和帕斯卡的许多想法也无法为人所知；没有这些想法，伽罗瓦、庞加莱、图灵和米尔扎哈尼等人的研究也将举步维艰……这样的例子不胜枚举。当然，更别提费马大定理的证明了。

所有这些数学发现，包括斐波那契的兔子和他的数列，都是在前人的研究基础上不断向前发展、向外延伸的。正因如此，数学还有着更广阔的疆域，待人们探索发现。