下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
相关数学家：
欧几里得
结论：
质数有无限个。
对于大多数人而言，数字只是用来描述“多少”这个概念的一种方式。但是对许多数学家来说，数字本身就令他们着迷。数论就是关于数字的研究，有人称它为“数学女王”，它被认为是知识层面上最纯粹、最抽象的追求。质数（又称素数）则是数论领域的金本位制，数论家们对质数的追求就像猫追求猫薄荷。自从2 300年前，欧几里得在《几何原本》一书中讨论质数以来，质数的魅力从未衰减。
对许多数学家来说，他们对彻底搞懂质数的渴望，不亚于信基督教者对圣杯的推崇。人们常把质数描述为数字中的“原子”（构成一切事物的基本粒子）。卡尔·萨根在《接触》（1985）一书中写道，质数将会是人类与其他世界的智慧生物交流的最佳方式，因为有关质数的知识绝对是智慧生命的通用信号。
质数是只有两个不同因数（又称“约数”）的数字，一个因数是1，另一个是其本身。《几何原本》第七卷中，欧几里得将任一数字描述为“多个单位”（a multitude of units，即很多单位）合成的。关于“数字”这一概念，这就是你所能了解到的简单的抽象定义。他将质数定义为“仅用一个单位衡量”（measured by a unit alone）的数字，即只能被1整除——欧几里得没有将1算作数字。他还将合数定义为“非质数的数字”。之所以称之为“合”数，是因为它们是通过质数相乘得到的。根据他的定义，一个完全数等于其除数（“因子”）之和。
欧几里得对合数和完全数都发表过有趣的见解，但真正改变游戏规则的是他对质数的证明。他想知道到底有多少个质数。他在《几何原本》第九卷的命题20中，巧妙地证明了质数有无穷个的结论。这标志着数论的诞生。尽管此前毕达哥拉斯和其他希腊数学家对质数也很感兴趣，但命题20对质数的证明具有开创性的意义。因此，纵观数学史，正是命题20为数字的研究奠定了基调。
现在人们将欧几里得的证明方法称为“反证法”，即先假设某个你想证明的命题不成立，然后从逻辑上一步步往下推理，得出该假设实际上不成立，原命题得证。
欧几里得想证明的是“存在比任何有限个数都多的质数”这一命题，即存在无穷个质数。换言之，他想证明，质数不是有限的。因此，他采用了反证的方式，假设存在有限个数的质数，然后着手证明这个命题不成立。他的反证基于的假设是，每个自然数都是质数的乘积。
欧几里得的希腊原文不太好理解。不过没关系，我们可以简要分析一下他证明过程中的关键所在。如果说质数的个数是有限的，那我们应该可以列出所有的质数：质数1、质数2、质数3，一直到最大的质数n。现在，如果将这张清单中的所有数字相乘并加1，会怎样？你不必真去计算，只需按逻辑推理即可。
这个得数肯定不是一个质数，因为它大于我们清单中最大的质数。所以它肯定是一个合数。但已知合数是质数的乘积，因此这个合数能够被质数整除。但是，在有余数1的情况下，我们不可能得到整除的结果。所以，我们列出的并不是全部的质数，我们以为自己列的单子是完整的，但这么看来必然存在遗漏。
不论你那张单子上最大的质数是多少，这个结果是不变的：始终存在更大的质数。这种论证方式的独创性令人叹为观止。无数数学家因此受到启发，在数字森林中寻找着相似的逻辑证明和方法。
事实上，数学家们还在不断尝试用其他方法证明质数是无穷的。18世纪，莱昂哈德·欧拉提出了证明；20世纪50年代，匈牙利数学家保罗·厄多斯想到了另一种算术证明；美籍以色列数学家希勒尔·弗斯滕伯格从集合论的角度给出了证明。单是过去的十几年，就有六七种新的证明问世，其中就包括2016年亚历山大·申基于信息论提出的构想，以及“压缩状态”（compressibility states）。
尽管有证据表明质数是无穷的，但这并没有阻碍数学家们不停前进的脚步——从定义上讲，这是他们的“永恒探索”。欧几里得之后不久，另一位伟大的希腊人埃拉托色尼提出了一种巧妙的筛选法，这种办法可以快速筛出非质数，以此来识别质数；19世纪，卡尔·弗里德里希·高斯发现，数字越大，质数分布越少。对质数的搜寻仍在继续，但这一切都始于欧几里得。
