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相关数学家：
古希腊人
结论：
希腊人以无限取乐，但如今数学家们却发现无限的复杂性超乎想象。
无限的概念很难理解。作为拥有有限寿命的人类，我们已经习惯了处理有限的、具体的事物，那么如何才能掌握“永无止境”的概念呢？
有几位古希腊数学家为“无限”概念绞尽脑汁。欧几里得证明了质数有无限个；亚里士多德意识到时间永存，没有尽头。希腊人称“无限”为“阿派朗”（apeiron），意思是没有界限、没有尽头。他们不喜欢这一观点，因为他们更喜欢处理（小一点儿的）整数。
公元前5世纪，哲学家芝诺曾在多个悖论中使用过无限思想。这些悖论中最著名的一则是关于阿喀琉斯和乌龟的故事。希腊神话中著名的战士阿喀琉斯和乌龟赛跑，假设阿喀琉斯和乌龟比100米赛跑，他让乌龟先跑50米。比赛开始了，他快如子弹，只用了5秒钟就跑了50米，到了乌龟起跑的地方。但是，乌龟也一直在往前跑，更恰当一点儿说是蹒跚着爬，5秒的时间内爬了半米。所以此时乌龟领先了半米。
然后，阿喀琉斯在0.05秒内跑了半米，但乌龟又一次蹒跚着，前进了5毫米，仍然领先。实际上，每当阿喀琉斯要追到乌龟的时候，乌龟也在向前移动。无数次的你追我赶中，两者的距离变得越来越小。但也因此，阿喀琉斯永远无法追上乌龟。
1 500多年后，意大利科学家伽利略为无限的大小发起了愁。无限都一样吗，还是各种各样的？例如，每个整数都有一个平方数：1 2 ＝1，2 2 ＝4，3 2 ＝9，依此类推。大多数整数都不是平方数（例如2、3、5、6、7），因此显然整数比平方数多。已知整数有无数个，平方数也有无数个；因此整数的无限应该大于平方数的无限。但是，每个整数都是一个平方数的平方根，这表明每个整数都可以匹配一个平方数。换句话说，整数和平方数之间存在一一对应的关系，因此两者“无限”的个数应该相同。这就是伽利略的悖论。
伽利略得出了结论：“‘等于’‘较多’和‘较少’这样的属性仅适用于数量有限的情况。”
德国数学家格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔（1845—1918）更进一步，他定义了无限的不同大小。
例如，有所有整数（或自然数）的集合：1、2、3、4等。还有所有偶数的集合：2、4、6、8等。偶数与整数一一对应：2→1、4→2、6→3、8→4。这意味着偶数是可数的。进一步看，偶数的无限个数加上奇数的无限个数，等于所有整数的无限个数。
另外，有所有实数的集合：1.0、1.1、1.01、1.001、1.000 01等。康托尔指出，实数集合是不可数的，因为它们不能与整数一一对应。因此，实数的集合大于整数的集合，也就是说，无限集合的大小有多种可能。很明显，在1和2之间有无限个实数，尽管这一点看上去很直观，但是康托尔设法证明了这一点。
无限可能难以想象，更难以确定。尽管19世纪的德国数学家利奥波德·克罗内克坚信，无限的概念太过模糊了，不该在数学中占有一席之地，但数学家们还是必须学会如何处理它。
科赫雪花
比如，研究微积分绕不开“无穷小量”——无限小的分割；再比如，时间没有终点，事物也不可能停止运动。要处理这个无限可分割的连续体，唯一方法就是设置极限，并假设你感兴趣的那个点就在这些极限之间。同样，当你放大分形的结构时，较小的细节会重复出现。这种排列将无穷无尽地延伸，受到分辨率的限制，更小的细节渐渐被抹平，整体趋于平整。
然而，正是无限的难以理解使它一直处于数学思维的前沿。举个例子来说，“无限”这个概念，已经成了判断数学上可证或不可证的关键所在。毕竟在库尔特·哥德尔的不完备性定理之后 （参阅此处） ，我们应该都接受了数学中并非所有事物都可证的观点。另外，德国数学家戴维·希尔伯特于1924年引入了著名的旅馆悖论。希尔伯特的旅馆有无数间客房，这些客房全满员了。然而，通过一系列巧妙的证明，希尔伯特表示他总是可以为无限多的客人安排无限多的客房。单凭直觉判断，这纯属胡说八道。你怎么在已经客满的旅馆里，找到可以入住的客房？但这就是无限的悖论。希尔伯特的证明是严密的，他只不过证明了人的直觉和常识可能是错的……