3.7 不确定度与测量结果表达

所谓测量的正确度是指测量结果与被测量值之间的一致程度。它是描述测量结果质量的术语。在实际使用中，可以说某测量结果准确度高或低，如某仪器的准确度为 1.0 级，但不能说，某测量结果准确度为 0.25%,某仪器的准确度为 6 mm等。

测量不确定度是定量描述测量结果质量的指标，是测量结果的一个参数，用以表示被测量的分散性。因此一个完整的测量结果应包含被测量值的估计与分散性参数两部分。一个完整的测量结果应包含两部分：被测量的估计值以及分散性参数，如:

被测量:

式中 ——估计值;

U ——不确定度。

不确定度的含义是指由于测量误差的存在，对被测量值的不能肯定的程度。反过来，也表明该结果的可信赖程度。它是测量结果质量的指标。不确定度越小，所述结果与被测量的真值越接近，质量越高，水平越高，其使用价值越高；不确定度越大，测量结果的质量越低，水平越低，其使用价值也越低。在报告物理量测量的结果时，必须给出相应的不确定度，一方面便于使用它的人评定其可靠性，另一方面也增强了测量结果之间的可比性。

1990 年前后，开始使用不确定度概念于测量学中，但其含义与表述方法尚缺乏一致性。1993 年国际标准化组织牵头的 7 个委员会[国际标准化组织(ISO)、国际计量局(BIPM)、国际法制计量组织(OIML)、国际电工委员会(IEC)、国际理论化学与应用化学联合会(IUPAC)、国际理论物理与应用物理联合会(IUPAP)、国际临床化学协会(IFCC)]联合发布了《测量不确定度表示指南》( Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement ,GUM)。1995 年又发布了其修订版，从而被世界上大多数国家所采用。

我国 1999 年 5 月 1 日，由国家质量技术监督局正式颁布《测量不确定度评定与表示》(JJF1059—1999),标志我国正式全面推广GUM,它是计量确认与认证、精密测量、产品检验和国际贸易等领域的重要基础文件，是评定试验数据可靠性、可信比、可比性等质量指标的重要依据。规范中关于不确定的定义为：表征合理地赋予被测量之值分数性，与测量结果相联系的参数。

不确定度表示由于测量误差存在而对被测量值不能确定的程度，不确定度是一定概率下的极限误差。不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即随机误差分量和未定系统误差的联合分布范围。

由于真值的不可知，误差是不能计算的，它可正、可负也可能十分接近于零；而不确定度总是不为零的正值。

测量不确定度和误差的区别见表 3.9。

3.7.1 标准不确定度的评定

以标准差表示的不确定度称为标准不确定度。

由于误差的来源很多，测量结果的不确定度一般包含几个分量。在修正了可定系统误差之后，把余下的全部误差归为A,B两类不确定度分量。

1)标准不确定度A类评定

通过一系列观察值数据的统计分析来评定的方法称为A类评定。

在重复性条件或复现性条件下得出 n 个测量结果 x _k ,随机变量 x 的期望值 μ _x 的最佳估计量是 n 次独立观测结果的算术平均值 (又称为样本平均值):

观测值的实验方差为:

平均值的实验方差为:

平均值的实验标准差 等于平均值的实验方差的正均方根:

平均值 的标准差 和平均值的方差 均表征了平均值与观测值期望值的接近程度，两者均可作为 的不确定的度量。由于标准差与 x 具有相同的量纲，较为直观和便于理解，故使用更为广泛。

通常以独立观测列的算术平均值作为测量结果，测量结果的标准不确定度为:

用平均值的实验标准差表示均值 的不确定度。

式(3.67)又称为贝塞尔公式。标准不确定度A类评定的基本方法是采用贝塞尔公式计算标准差。在《测量不确定度评定与表示》(JJF 1059—1999)中A类评定的另一种简化方法，称为极差法。

极差 R 定义为一个测量列中，最大测量结果减最小测量结果所得之差。所谓测量列，是指重复性条件下或复现性条件下的若干测量结果整体。

使用极差法评定的前提是 x 的分布应是正态的。在重复性条件或复现性条件下，对 x _i 进行 n 次独立观测，计算结果中最大值与最小值之差 R (称为极差),在可以估计接近正态分布的前提下，单次测量结果 x _i 的实验标准差 s ( x _i )可以近似地评定:

式(3.69)中极数系数 C 及自由度 ν 见表 3.10。

2)标准不确定度B类评定

用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，称为B类不确定度评定。

评定基于以下信息：权威机构发布的量值、有证参考物质的量值、校准证书、仪器的漂移、经检定的测量仪器的准确等级、根据人员经验推断的极限值等。

获得B类标准不确定度的信息来源一般有:

①以前的测量数据、经验和资料。

②对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验。

③生产部门提供的技术说明文件。

④校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等级或级别，包括目前正在使用的极限误差等。

⑤手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度。

⑥规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限 r 或复现性 R 。

用B类评定法得到的估计方差 u ² ( x _i ),可简称为B类方差。

可根据经验或其他信息来估计，也可用近似的，假设的“标准偏差” u 来表征。例如:

①当估计值 x 受到多个独立因素影响，且影响大小相近，并假设为正态分布，则由所取的置信概率 α 的分布区间半宽 a 与包含因子 k _α 来估计标准不确定度，即:

其关系如图 3.4 所示。

正态分布下置信概率 α 与包含因子 k _α 关系见表 3.11。

②根据已知信息，估计值 x 落在区间( x - α , x + α )内的概率为 1,且在区间内各处出现机会相等，则 x 服从均匀分布，其标准不确定度为:

③当估计值受到两个独立且都是均匀分布因素的影响时，则 x 服从在区间( x - α , x + α )内的三角分布，其标准不确定度为:

3)标准不确定度评定时的自由度

由数理统计可知，在 n 个变量 v _i 的平方和 中，如果 n 个 v _i 之间有 k 个独立的线性约束条件，即 n 个变量中只有 n - k 个为独立变量，则平方和 的自由度为 n - k 个。

（1）A类

对A类，其自由度 v ,即为标准差 s 的自由度。如用通常的方法其自由度 v = n -1。

（2）B类

由估计 u 的相对标准差来确定自由度，定义为:

式中 s _u ——评定 u 的标准差;

——评定 u 的相对标准差。

当 s _u / u = 0 时，则 u 的评定非常可靠。

3.7.2 测量不确定度的合成

当测量结果是由若干个其他量的值求得时，按其他量的方差和协方差算的标准不确定度称为合成标准不确定度。

其基本方法与误差合成相类似。

如被测量 Y ,其估计值 y 由 N 个其他量测得的值 x ₁ , x ₂ …, x _N 的函数求得:

y = f ( x ₁ , x ₂ ,…, x _N )

由各直接测得值 x _i 的测量标准不确定度为 ,它对被测量估计值影响的传递系数为 ,则由 x _i 引起被测量 y 的标准不确定度分量为:

合成的不确定度:

当 x _i , x _j 不确定度相互独立，即 r _ij = 0 时:

当综合的项有 N 项，其中 n 项为A类不确定度, m 项为B类不确定度，分别列为:

则按方和根法，综合不确定度为:

结果表达为: 6H7Agsu6zDUU+quBhEwOPcm3Y9VAQH3Wde21tMAkLEifCEHCk5SJIWMtW18kW2Yo