3.6 误差传递

使用直接测量值经过公式计算后所得的另一些测量值为间接测量值。如物体的运动速度、密度、散热器的传热系数、热物理中的准则数、空气中的焓值等。直接测量值不可避免地存在误差，显然，由直接测量值根据一定的函数关系，经过运算而得到的间接测量值也必然有误差存在。怎样来估算间接测量值的误差，实质上是要解决一个误差传递的问题，即求得估算间接测量值误差的公式。这种公式称为误差传递公式。

某间接测量参数 Y 和 n 个直接测量参数之间具有函数关系:

直接测量存在误差时，将使间接测量存在误差，其关系式为:

如果函数连续且可微，可将式(3.46)作为泰勒级数展开，取一阶近似，误差之间的关系式为:

式(3.47)为误差传递的一般公式。其意义是误差的变化等于各偏微分之和，或函数的变化等于各自变量变化所引起的函数变化之和。

3.6.1 系统误差的传递

1)加减运算

对

R = f ( A , B , C )= A + B - C

有

即在加减运算中，结果的绝对误差等于各测量值的绝对误差的代数和。

若

R = f ( A , B , C )= mA + nB - C

则

2)乘除运算

则

所以:

即在乘除运算中，结果的相对误差等于各测量值的相对误差的代数和。

3)对数运算

R = f ( A )= k + n ln A

则

4)指数运算

R = f ( A )= k + A ⁿ

则

3.6.2 偶然误差的传递

设 Y = f ( X ₁ , X ₂ ,…, X _n ),若对每个直接测量参数都进行 m 次测量，则各参数均有 m 个误差，为

依次可列出 m 个误差关系式:

第 1 次测量:

第 2 次测量:

将以上各式两边平方再相加，得:

两边除以测量次数 m ,可得方差关系:

则可得到:

式(3.53)称为误差传递函数，或称方差传递公式，式子中 ρ _ij 为误差 δ _i 与 δ _j 的相关系数；当各误差量之间相互独立, ρ _ij = 0 时，式(3.53)可写成方差合成公式:

式中, 称方差传递系数。

3.6.3 确定测量的极差

对同一对象，使用两种不同的仪器进行测量，测量结果往往不一致，但二者之差应该是有一定限度的，这个限度就是极差，当两个结果都超过极差，就说明其中必有一个是不合格的测量结果。

设被测量的真值为 a ,第 1 件仪器测量值为 L ₁ ,标准差为 σ ₁ ,第 2 件仪器测量值为 L ₂ ,标准差为 σ ₂ ,考虑误差分布相同，且为正态分布，则各个测量应该满足:

令测量值之差为 ϕ ,即

ϕ = L ₁ - L ₂

根据方差合成公式:

写成误差限的形式，则

两个测量之差，最大不应该超过 3 σ _ϕ ,因此 3 σ _ϕ 就是极差。

3.6.4 误差的分配

给定测量误差的条件下选择测量方案，应合理分配误差，确定各单项误差，既保证测量精度又有较好的经济性。常用的分配原则有:

1)按等作用原则分配误差

认为各部分误差对总误差的影响作用是相等的，如函数误差公式(3.57):

其中

分配时应满足

取

则有:

若用极限误差来表示:

式中 δ ——总的极限误差。

2)按可能性调整误差

一般测量系统有多个环节，若用同一精度去要求，势必会造成经济性问题，如有的环节为了达到误差要求，势必要用昂贵的高精度仪器，或要付出较大的劳动。因此在这些环节应作适当放宽处理，在其他环节再作调整。必要时，可对有些环节作加权处理。

另一方面，从式(3.58)可以看出，即使各部分误差一定时其测量值的误差与其传递系数成反比，所以，各部分误差相等，其测量值的误差并不相等，有时相差很大。

因此，对难以实现测量误差的环节，其误差适当扩大，对容易实现测量误差控制的环节，其误差尽可能缩小。这种实现误差总量控制的原则是一种经济实用的方法。

3)小误差取舍准则

一般情况, 时的项可舍去。

精密测量时, 时的项可舍去。

上述条件表明：对于随机误差和未定系统误差，微小误差取舍准则是被舍去的误差必须小于或等于测量值总误差的 1 /3 至 1 /10。

如选择测量仪器，当选择高一级精度的标准器具时，其误差应为被检器具允许总误差 1 /10 ~ 1 /3。

4)最佳测量方案的确定

一般函数的标准差为

从式(3.61)中可看出:

①选择最佳函数误差公式：该函数公式中的间接测量项目数量最少，这样误差项也最少。

②使误差传递系数等于零或为最小：从式(3.61)可知，若使 = 0或为最小，则总误差 σ _y 也将减小。

虽然在实际中 = 0 的可能性不大或根本达不到，但却指出了达到这种最佳测量方案的途径。

【例3.7】 设计一个简单的散热器热工性能实验装置，利用式(3.60)计算散热量:

式中 L ——体积流量;

ρ ——水的密度;

c ——比热;

t ₁ , t ₂ ——散热器进出口水温。

设计工况: t ₁ - t ₂ = 25 ℃, L = 50 L/ h,要求散热器的测量误差不大于 10%,需如何配置测量仪表。

解 :（1）根据误差传递公式，写出相对误差关系式

由计算公式可知，这是间接测量问题，直接测量参数为热水流量 L 和进出口水温 t ₁ , t ₂ 。为简单起见，设 L , t ₁ , t ₂ 相互独立且为正态误差分布, ρ , c 均为常数，误差为 0。根据方差传递公式可以写出

依正态分布写成误差限，两边除以 Q ² ,则为

这就是相对误差的传递公式。

（2）将题意给定的总误差分解，初步估计直接测量误差限

由题意已知，要求测量的误差限:

故应满足

显然，可能有无穷多解。这里一般假定：各项误差对总误差的作用相同，又称误差等作用原则。令

则有

则以此为初选仪表的依据。 TAu+xGI4SGQRcx4PieW8NAT+lpPHvsN+KHzo8ofTIQeHEobCACw1ZbeN3va+F1W3