3.5 直接测量中的误差分析

在测量中，使待测量与标准量直接比较而得到测量值称为直接测量。通过仪器直接测试读数得到的数据，如测温度、压力；测长度、质量；电流、电压值。

3.5.1 单次测量误差分析

对于实验中的单次测量值，即一次测量度数值，其误差分析有两种方法:

①仪器上没有说明误差范围，按其最小刻度的 1 /2 作为误差。

例如，如图 3.3 所示，用直尺测量某一物体。直尺的最小刻度为 1 mm,表明该直尺有把握的最小测量长度是 1 mm,所以其绝对误差为 1 /2 = 0.5 mm。

②仪器上有误差范围，按给定的误差范围分析计算。

例如，某仪器精度为 0.5 级(±0.5%)(相对误差)当量程 3.2 mg时，绝对误差最大值为:

3.2 mg×0.005 = 0.016 mg

实际值：测量值±0.016 mg。

3.5.2 重复多次测量值误差分析

重复多次测量值误差，通常采用算术平均误差。

①算术平均误差：是测量值与算术平均值之差的绝对值的算术平均值，表示为:

式中Δ x ——算术平均误差;

x _i ——测量值;

——全部测量值的平均值;

n ——测量次数。

求算术平均误差时，偏差可能为正也可能为负，所以一定要取绝对值；算术平均误差可以反映一组实验数据的误差大小，但无法表达出各实验值间彼此符合程度。

②标准偏差：标准差也是一种平均数，标准差能反映一个数据集的离散程度。各数据偏离平均数的距离(离均差)的平均数，也称为均方差，用 σ 表示。当实验次数为有限时，把 n 个残差求平方和，除以 n -1 再开方，就称为测量列的标准偏差。当实验次数 n 无穷大时，称为总体标准差 σ ,它常用来表示实验值的精密度：标准差越小，实验数据精密度越好，其定义为:

标准差与每一个数据有关，而且对其中较大或较小的误差敏感性很强，能明显反映出较大的个别误差。

【例3.6】 两次测试的偏差分别为：+4,+3,-2,+2,+4;+1,+5,0,-3,-6,求它们的算术平均误差及偏差。

解 :算术平均误差:

偏差:

结果表明，标准差越小，实验数据精密度越好，反映仪表越精密。标准差反映了数据的分散性，即随机误差的大小。

3.5.3 等精度测量中的误差评价

（1）算术平均误差

由于真值不易测得，几乎所有的测量中都以最大或然值(即出现此值的概率最大)作为最佳值代替真值。

在一组测量中，如果测量的全部条件相同，那么各个观测值都是同样可信、可取的，各个真值相互之间是等价的；也就是说，它们的权是相同的，称这样的测量为等精度测量，凡标准误差 s 相同的测量都称为等精度测量。

设 a 为某测量的最佳值，而各个量值为 为各测量值的算数平均值，则各值与最佳值间的算术平均值的误差为:

取 n 个误差的和:

根据误差的抵偿性，当次数 n 很大时, =0,则

所以, 就是最可信赖的最佳值，而 正是算术平均值，因此，在等精度测量中，算术平均值为最能近似代表真值的最佳值。

（2）有限观测次数中标准误差 s 的计算

设真值为 a ,算数平均值为 ,各观测值为 x _i ,则有

均值的误差:

将式(3.33)求和得:

根据误差的抵偿性，当次数 n 很大时, =0,则 i = 1

将式(3.33)平方后求和得:

将式(3.35)平方后得:

当次数 n 很大时，可认为 =0,则

所以

即

这说明在有限次观测中，各观测值与算术平均值之差的平方和除以测量次数减 1(即 n -1)的方根等于平方差(标准差)。这由贝塞尔导出，故又称为贝塞尔方程, σ 表示了测量中约有68.3%的点落在( )范围内, σ 反映了测量的精密性。当 n 很大时，可以认为算数平均值等于真值。这个结论与前面的结论完全一致。

（3）算术平均值的误差

上述方法可以证明，在一组等精度测量中，测量值的算术平均值 x 的标准误差为:

3.5.4 不等精度测量中的误差评价

（1）权数

对于一组不等精度的测量值 x ₁ , x ₂ ,…, x _n ;对应的标准误差为 s ₁ , s ₂ ,…, s _n ;对应的权数为 m ₁ , m ₂ ,…, m _n ;每单位权的标准差为 s ,则

得出:

式(3.41)是根据标准误差计算权的公式，为了计算方便这里 s 通常取 1。

（2）最佳估计值

按上节同样的原理，可得出在不等精度直接测量中 x _i 的最佳估计值为各测量值的加权算数平均值 :

（3）不等精度测量中的标准误差 s 及算数平均值中的标准误差

按上节同样的原理，可得出在不等精度直接测量中的标准误差 s 及算数平均值的标准误差 : M5I+U0goVFENXSZMCcko8VdpnLhcHIukRd7iN2pK0lrKTLLIxCqzJ50ZqU9yThxQ