2.6 参数假设检验

用子样观测值推断总体的参数特征属于统计推断的范畴，包括两方面的内容：参数估计和统计检验。

由于实验研究工作的需要，往往先要对总体的某一统计特征进行假定，之后利用反复观测的子样数据，根据概率统计进行计算，以判断假设是否成立，这就是统计检验或假设检验。

2.6.1 u检验

u 检验是一般用于大样本(即样本容量大于 30)平均值差异性检验的方法。它是用标准正态分布的理论来推断差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。

当已知标准差时，验证一组数的均值是否与某一期望值相等时，用 u 检验。另外，对于 u 检验国外的统计学教材大多采用 Z 检验的说法。而国内统计学书籍，大多采用 u 检验。

1)总体均值的一致性检验

（1）双边检验

设总体 ,子样观测值 x ₁ , x ₂ ,…, x _n ,检验假设 H ₀ : μ = μ ₀ ( μ ₀ 为已知常数),子样均值服从正态分布 标准化可以得到统计量

对于给定的信度 α ,可根据正态分布密度函数，查到 ,使:

子样观测值计算 u ₀ ,如有 ,则接受原假设检验，否则拒绝。

在实际检验中，人们往往感兴趣的是在采用新工艺或新参数配比后，总体的均值有显著增大，例如相变材料的强度、产品的使用寿命、空调设备的效率等指标无疑是越高越好的，而成本、原料消耗等指标应尽可能地小一些，这一类问题的处理涉及单边检验。

（2）右边检验

在这种情况下，将检验新的总体均值 μ 是否比原总体均值 μ ₀ 大，即在显著水平 α 下，检验假设 H : μ ≥ μ ₀ ,当 时接受假设，反之否定原假设，此时认为总体均值 μ 比原均值 μ ₀ 显著地增大了。

（3）左边检验

同样，在显著水平 α 下，将检验新的总体均值 μ 是否比原总体均值 μ ₀ 小，即在显著水平 α 下，检验假设 H : μ ≤ μ ₀ ,当 时接受假设，反之否定原假设，此时认为总体均值 μ 比原均值 μ ₀ 显著地减小了。

2)两个总体均值的一致性检验

u 检验可以来检验两个遵守正态分布，标准偏差不相等的总体均值是否有显著性差异，即检验假设 H : μ ₁ = μ ₂ 。

设两总体为 和 ,已知 ,检验假设 H ₀ : _{μ 1} = _{μ 2} 。

分别取来自两个总体的容量为 n ₁ 和 n ₂ 的子样，子样平均值 ,其 u 值计算公式为:

在显著水平 α 下，检验 时，否定假设 H : μ ₁ = μ ₂ ,即认为两总体均值存在显著性差异。同样也可以对 μ ₁ 和 μ ₂ 进行单侧检验。

右边 u 检验：原假设 μ ₁ ≤ μ ₂ ,当 u > u _α 时否定原假设。

左边 u 检验：原假设 μ ₁ ≥ μ ₂ ,当 u <- u _α 时否定原假设。

2.6.2 t检验

t 检验也称Student t 检验(Student’s t test),主要用于样本含量较小(如 n <30),总体标准差 σ 未知的正态分布检验。

设总体 X ~ N ( μ , σ ² ), σ 未知，子样观测值 x ₁ , x ₂ ,…, x _n ,检验假设 H ₀ : μ = μ ₀ ( μ ₀ 为已知常数)。

总体标准差未知，只能用子样标准差取代，将统计量定义为:

若 H ₀ 成立，则 t 分布服从自由度为 n -1 的 t 分布，按给定的置信度 α ,可以查出 ,使

由子样计算得到的统计量 t > t _α/2 时，否定原假设，否则接收。同样可以用 t 检验来判断两个正态总体的均值的差。

设两总体为 和 ,已知 ,但数值未知，需要检验假设 H ₀ : μ ₁ = μ ₂ 。

因总体方差未知，故用子样方差的加权平均值取代:

作统计量

若原假设 H ₀ 成立，可以证明，统计量 t 服从自由度为 n ₁ + n ₂ -2 的 t 分布，因此给定置性度 α 下进行 t 检验。

在显著水平下，按照总自由度 f = n ₁ + n ₂ -2 及 α 查 t 分布表(附录 4),确定拒绝域临界点 ,当 时，否定假设 H ₀ : μ ₁ = μ ₂ ,进行单边检验的方法和步骤同 u 检验法。

如果 n ₁ 和 n ₂ 都比较大，则可以用下式近似计算统计量 t :

这里的 n ₁ 和 n ₂ 不一定相等，但最好不要相差太大，在显著性水平 α 下，当 时，否定假设。

2.6.3 χ ² 检验

当需要检验总体方差时，则应利用 χ ² 分布的统计量。

设总体 均未知，子样观测值 x ₁ , x ₂ ,…, x _n ,检验假设 H ₀ : σ = σ ₀ ( σ ₀ 为已知常数)。

总体标准差 σ 未知，只能用子样标准差 S 取代，被检验假设 H ₀ : σ = σ ₀ 也可以写作 = 1,这样被检验假设可化为检验 是否接近 1 的问题，于是统计量定义为:

公式的比值具有上限和下限，查表时应注意使 χ ² 满足:

这是因为若假设 H ₀ 成立，值必定在上限和下限值之间，否则即舍弃原假设 H ₀ 。

2.6.4 F检验

F 检验用于检验二项正态总体方差的齐性。

设二项正态总体 和 ,其中 μ ₁ , μ ₁ , σ ₁ , σ ₂ 均未知。若已知两个总体的子样分别为 和 ,要求检验假设 H ₀ : σ ₁ = σ ₂ 。

由于 σ ₁ , σ ₂ 均未知，若判断 σ ₁ = σ ₂ ,只能用二子样方差取代，问题归结为比较 的问题，所以应从 出发就构造统计量:

F 服从第一自由度为 n -1,第二自由度为 m -1 的 F 分布，记作 F ~ F ( n -1, m -1)。

按照给定的置信度 α ,根据自由度( n -1, m -1),可以通过查表查出上限值，使

查下限时,

不能直接提供，需做变换，使

~ F ( m -1, n -1),查表得到 ,即可得出 值。 /VOqVnM5fY5uFC60j/0g+SWHbp/h3qVlaQJ+8IS10qCJzbNvx+dGEvnvYdyO7Ag8