2.4 参数的点估计

实际问题总是认为总体分布形式已知，而是不知其中几个参数，因此估计问题变为如何估计这几个未知参数，分成两大类：点估计和区间估计。

设总体 X 的分布函数 F ( x , θ )形式已知, θ 为待估未知参数向量。设样本值为 x ₁ , x ₂ ,…, x _n ,其点估计就是构造一个适当的统计量 作为待估未知参数, θ 的近似值。这^

里介绍经典的两种方法：矩估计方法和最大似然估计。

2.4.1 矩估计

矩估计：子样的 k 阶原点矩, ,总体的 k 阶原点矩 m _k ,假设 θ = ( θ ₁ , θ ₂ ,…, θ _n ),那么就列 L 个方程 m _k = A _k ,求解 。

由上面的 m 个方程解出的 m 个未知参数 为参数 的^矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值。

2.4.2 最大似然估计法

设随机变量 X ,其概率密度函数为 f ( X , θ ), θ 为未知参数, θ ∈ Θ 。现已取得 X 的容量为 n 的随机子样( x ₁ , x ₂ ,…, x _n ),定义连续型总体的似然函数为:

似然函数为各个子样观测值概率密度的乘积，其中 x ₁ , x ₂ ,…, x _n 均为已经取得的子样值。似然函数 L ( x ₁ , x ₂ ,…, x _n ; θ )仅为未知参数 θ 的函数，显然, L ( x ₁ , x ₂ ,…, x _n ; θ )越大越有利于结果的发生，即 x ₁ , x ₂ ,…, x _n 越容易被观测到。故应选取 ,使 L ( θ )最大，作为 θ 的估计值。

即应该选取 ,称 为参数θ的最大似然估计值。也可以说, 是子样的函数。

将上述发生概率最大的参数θ作为真实值的估计，那么就是使得似然函数 最大即可，或者 最大，记作

为使得上述最大

采取 =0,来求解 参数向量。

2.4.3 估计量的评价

对于同一个未知参数，用不同的方法得到的估计量可能不同，于是提出以下问题:

①应该选用哪一种估计量?

②用何种标准来评价一个估计量的好坏?

这就涉及用什么样的标准来评价估计量的问题，下面介绍几种常用的标准。

1)无偏性

设 是总体X的一个样本, 是包含在总体X的分布中的待估参数，这里 是θ的取值范围。

若估计量 的数学期望 存在，且对于任意 ,有

则称 _{是 θ} 的无偏估计量。

人们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等，这说明了无偏估计量的合理性。

在科学技术中, 称为以 作为θ的估计的系统误差，无偏估计的实际意义就是无系统误差。

例如，设总体X的数学期望E(X)、方差D(X)存在且未知，又设 是总体X的一个样本，则

这就是说，不论总体服从什么分布，样本均值是总体数学期望E (X)的一个无偏估计量；样本方差 是总体方差D(X)的无偏估计量，而估计量 却不是总体方差D(X)的无偏估计量，因此人们一般取样本方差S ² 作为总体方差D(X)的无偏估计量。

2)有效性

如果在样本容量n相同的情况下, 的观察值较 的观察值更密集在真值θ的附近，那么就认为 较 理想。由于方差是随机变量取值与其数学期望[此时数学期望 ]的偏离程度的度量，所以无偏估计量以方差小者为好，这就引出了估计量的有效性这一概念。

设 都是总体参数θ的无偏估计量。若对于任意 ,有 ,则称 较 有效。

3)一致性

在无偏估计量中，人们以其方差作为衡量其最优的标准，但是无偏估计量方差不一定比有偏估计量的方差小。因此人们想从偏差性（有偏和无偏）和离散性（方差大小）两者兼顾的方式来得到估计量，就是一致性或相合性。

设 是总体参数θ的无偏估计量，若对于任意的 当n→∞时, 依概率收敛于θ，即 , = 0,则称 是总体参数θ的一致（或相合）估计量。

由大数定律可知，样本k阶矩是总体k阶矩的一致性估计量；由切比雪夫不等式可以证明。设 是θ的无偏估计量，且 则 是θ的一致估计量，从而矩估计法得到的估计量一般为一致估计量。

在一定条件下，最大似然估计量具有一致性。

一致性或相合性是对估计量的基本要求，若估计量不具有一致性或相合性，那么不论将样本容量n取得多么大，都不能将θ估计得足够准确，这样的估计量是不可取的。 SXKUWeIVMuc+9BlBHu50xxt0MDAqYBViMHf0gfT5R0ebqqokrOQzinzRvdfPq1hF