8.3 z变换

在线性连续控制系统中，以拉普拉斯变换作为数学工具，将系统的微分方程化为代数方程，建立系统的传递函数，可以非常方便地对系统进行分析和设计。与此相似，在线性离散控制系统中，应用 z 变换将描述系统的线性差分方程转化为代数方程，建立系统的脉冲传递函数，从而对系统进行分析和设计。因此， z 变换是研究线性离散控制系统的重要数学工具。

8.3.1 z 变换的定义

设连续信号 x （ t ）存在拉普拉斯变换，其象函数为 X （ s ）。 x （ t ）经过等速采样后，得到离散信号 x ^∗ （ t ），由式（8-2）可知其表达式为

式中， T 为采样周期。对上式表示的脉冲序列进行拉普拉斯变换，可得采样函数

式（8-13）最后一个等式中每一项均含有复变量 s 的指数函数e ^Ts ，直接运算不方便。若引入复变量

则式（8-13）可写成以 z 为自变量的函数

式（8-15）为离散信号 x ^∗ （ t ）的 z 变换的定义式。 Z [ x ^∗ （ t ）]表示离散信号 x ^∗ （ t ）的 z 变换，记为 X （ z ）。通过引入复变量 z ，将采样函数拉普拉斯变换的表达式转换为 z 的幂级数形式。

z 变换，又称为采样拉普拉斯变换，它是从拉普拉斯变换直接引申出来的变换方法，它实际上是采样函数拉普拉斯变换的一种变形。对一连续函数 x （ t ）取 z 变换，只考虑这个函数在采样时刻的采样值，即时间序列 x （0）， x （ T ）， x （2 T ），…。也就是说

X （ z ）= Z [ x ^∗ （ t ）]= Z [ x （ t ）]= Z [ x （ kT ）]= Z [ X （ s ）]= Z [ X ^∗ （ s ）]

都表示对离散信号 x ^∗ （ t ）的 z 变换。

8.3.2 z 变换的方法

常用的 z 变换方法有级数求和法、部分分式法和留数计算法。

1.级数求和法

根据 z 变换的定义，将式（8-15）写成级数展开式

显然，只要知道连续函数 x （ t ）在各采样时刻 t = kT （ k =0，1，2，…，∞）的采样值 x （ kT ），便可求得离散函数 x ^∗ （ t ）的 z 变换的级数展开形式。这种级数展开式是开放式的，如果不能写成闭合式形式，实际应用就不方便。一些常用函数 z 变换的级数形式，都可以写成闭合式形式。

例8-1 求单位阶跃函数1（ t ）的 z 变换。

解： 单位阶跃函数在各采样时刻的采样值均为1，即1（ kT ）=1 （ k =0，1，2，…，∞），由式（8-16）可得

若| z |>1，则上式的无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式可得对应的闭合式形式为

例8-2 求指数函数e ^{- at} （ a >0， t ≥0）的 z 变换。

解： 根据式（8-16）可得

若| z |> a ，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式可得对应的闭合式形式为

2.部分分式法

利用部分分式法求 z 变换时，先求出已知连续函数 x （ t ）的拉普拉斯变换 X （ s ）。 X （ s ）通常是 s 的有理分式，然后将其展开成部分分式之和的形式，使每一部分分式对应简单的时间函数，再分别求出或查表得到每一项的 z 变换。最后作通分化简运算，于是可方便地求出 X （ s ）对应的 z 变换 X （ z ）。

将 X （ s ）展开成部分分式和的形式，即

式中， n 为 X （ s ）的极点个数； A _i 为常系数； s _i 为 X （ s ）的极点。由拉普拉斯反变换可知 A _i /（ s - s _i ）对应的原函数为 ，利用在例8-2中求得的指数函数的 z 变换，可得

因此，函数 x （ t ）的 z 变换由象函数 X （ s ）求得为

例8-3 已知连续函数 x （ t ）的拉普拉斯变换 ，求对应的 z 变换 X （ z ）。

解： 将 X （ s ）展开成如下部分分式

于是，与式（8-17）对照可知， A ₁ =1， A ₂ =-1， s ₁ =0， s ₂ =- a 。根据式（8-18），可得连续函数 x （ t ）的 z 变换

例8-4 已知连续函数 x （ t ）=sin ωt ，求对应的 z 变换 X （ z ）。

解： 对 x （ t ）取拉普拉斯变换，得

将 X （ s ）展开成部分分式

根据式（8-18），可得

3.留数计算法

已知连续函数 x （ t ）的拉普拉斯变换 X （ s ）及其全部极点 s _i （ i =1，2，3，…， n ），则其 z 变换可通过下列留数计算式求得，即

式中， s _i 为 X （ s ）的彼此不相等的极点； r _i 为重极点 s _i 的阶数； n 为彼此不相等的极点个数。

例8-5 已知连续函数 x （ t ）= t ² ，求对应的 z 变换 X （ z ）。

解： x （ t ）的拉普拉斯变换为

由上式可知， n =1， s ₁ =0， r ₁ =3。根据式（8-19）可得

例8-6 已知拉普拉斯变换 ，求对应的。变换X（z）。

解： 由拉普拉斯变换式 X （ s ）可知， n =2， s ₁ =-1， r ₁ =2， s ₂ =-2， r ₂ =1。根据式（8-19）可得

常用时间函数的 z 变换见表8-2。由表可知，这些函数的 z 变换都是 z 的有理分式，且分母多项式的次数大于或等于分子多项式的次数。值得指出，表中所列常用时间函数 z 变换式的分母 z 多项式的阶次与相应拉普拉斯变换式的分母 s 多项式的阶次相等。

8.3.3 z 变换的基本定理

在 z 变换中，有一些与拉普拉斯变换类似的基本定理。熟悉了这些定理，可以更加简便地应用 z 变换。

1.线性定理

若 X ₁ （ z ）= Z [ x ₁ （ t ）]， X ₂ （ z ）= Z [ x ₂ （ t ）]， a ₁ 与 a ₂ 为常数，则

证明： 由 z 变换定义

线性定理表明，时域函数的线性组合的 z 变换等于各函数 z 变换的线性组合， z 变换是一种线性变换。

2.实数位移定理

实数位移定理又称平移定理。实数位移是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移为超前、向右平移为滞后。实数位移定理如下：

若连续函数 x （ t ）的 z 变换为 X （ z ），则有滞后定理

以及超前定理

证明： 1）式（8-21）的证明。由 z 变换定义

令 m = n - k ，则有

由于 z 变换的单边性，当 m <0时，有 x （ mT ）<0，所以上式可写为

式（8-21）得证。

2）式（8-22）的证明。由 z 变换定义

令 m = n + k ，则有

式（8-22）得证。

算子 z 有明确的物理意义： z ^{- k} 代表时域中的滞后算子，它将采样信号滞后 k 个采样周期； z ^k 代表时域中的超前算子，它将采样信号超前 k 个采样周期。但是， z ^k 仅用于运算，在实际物理系统中并不存在。实数位移定理是一个重要的定理，可将描述离散系统的差分方程转换为 z 域的代数方程。

3.复数位移定理

若连续函数 x （ t ）的 z 变换为 X （ z ）， a 为常数，则有

证明： 由 z 变换定义

令 z ₁ = z e ^{± aT} ，则有

式（8-23）得证。

复数位移定理的含意是函数 x （ t ）乘以指数函数e ^{∓ at} 的 z 变换，就等于在 x （ t ）的 z 变换式 X （ z ）中以 z e ^{± aT} 取代原算子 z 。

4.初值定理

若连续函数 x （ t ）的 z 变换为 X （ z ），且极限 存在，则有

证明： 由 z 变换定义

当 z →∞时，等式右边只有 x （0），所以

5.终值定理

若连续函数 x （ t ）的 z 变换为 X （ z ）， X （ z ）不含有 z =1的二重及其以上的极点且在 z 平面的单位圆外无极点，则有

证明： 由 z 变换的线性定理，有

由实数位移定理

Z [ x （ t + T ）]= zX （ z ）- zx （0）

于是

上式两边取 z →1的极限，得

即

所以有

如果已知 x （ t ）的 z 变换 X （ z ），不需要求其 z 反变换，利用初值定理和终值定理可以方便地求出 x （ t ）的初值和终值。

8.3.4 z 反变换

所谓 z 反变换，就是已知 z 变换表达式 X （ z ），求取相应的离散函数 x ^∗ （ t ）或离散时间序列 x （ kT ）的过程。记为

通过 z 反变换只能求出连续信号在采样时刻的数值，而不能给出连续信号在采样时刻之间的有关信息。常用的 z 反变换方法有幂级数法、部分分式法和留数计算法。

1.幂级数法

幂级数法就是利用长除法将 z 变换表达式 X （ z ）展开成 z ^-1 的幂级数，求取离散函数 x ^∗ （ t ）或离散时间序列 x （ kT ）的数值。

设 z 变换表达式 X （ z ）是 z 的有理分式函数，即

式中， a _i （ i =0，1，2，…， n ）和 b _j （ j =0，1，2，…， m ）均为常数。将 X （ z ）的分子、分母多项式表示为 z ^-1 的升幂形式，则可以直接用分母去除分子，得到无穷幂级数的展开式

根据实数位移定理，离散函数 x ^∗ （ t ）为

考虑到式（8-27），由 z 变换定义式（8-15）可知，式（8-28）中的系数 c _k （ k =0，1，2，…，∞）即为 x （ t ）在采样时刻 t = kT 的值 x （ kT ）。

在实际应用中，通常计算有限的几项就够了，因此用幂级数法得到 x ^∗ （ t ）较简便，但不容易求出 x ^∗ （ t ）的通项表达式。

例8-7 已知 z 变换表达式 ，试求其 z 反变换。

解： 将 X （ z ）表示为

长除法算式如下

利用长除法得

X （ z ）=1+3.5 z ^-1 +4.75 z ^-2 +6.375 z ^-3 +…

则离散时间函数为

x ^∗ （ t ）= δ （ t ）+3.5 δ （ t - T ）+4.75 δ （ t -2 T ）+6.375 δ （ t -3 T ）+…

2.部分分式法

已知 z 变换表达式 X （ z ），考虑到在 z 变换表中 z 变换表达式 X （ z ）的分子都含有因子 z ，所以应将 X （ z ） /z 展开为部分分式，逐项查 z 变换表，就可以得到离散时间函数 x ^∗ （ t ）或离散时间序列 x （ kT ）。

设 z 变换表达式 X （ z ）无重极点，将 X （ z ） /z 展开为如下部分分式

式中， n 为 X （ z ）的极点个数； A _i 为常系数且 ； z _i 为 X （ z ）的极点。

式（8-29）的两端同乘以 z ，得到 X （ z ）的部分分式展开式为

逐项查 z 变换表，得到

最后写出 X （ z ）对应的采样函数

例8-8 已知 z 变换表达式 ，试求其 z 反变换。

解： 将 X （ z ） /z 展开成如下部分分式

上式两端同乘以 z ，得

查 z 变换表得离散时间序列

x （ kT ）=10（2 ^k -1） （ k =0，1，2，3，…，∞）

于是，离散时间函数为

3.留数计算法

在实际问题中遇到的 z 变换表达式 X （ z ），除了有理分式外，也可能是超越函数，此时无法应用部分分式法及幂级数法来求 z 反变换，而采用留数计算法却比较方便。已知 z 变换表达式 X （ z ），求取离散时间序列 x （ kT ）的留数计算式如下：

式中， z _i 为 X （ z ）的彼此不相等的极点； r _i 为重极点 z _i 的阶数； n 为彼此不相等的极点个数。则 z 变换函数 X （ z ）对应的离散函数 x ^∗ （ t ）为

例8-9 已知 z 变换表达式 ，试求其 z 反变换。

解： 由 X （ z ）可知， n =2， z ₁ =1， r ₁ =1， z ₂ =5， r ₂ =2。根据式（8-32），可得

于是，由式（8-33）得到 X （ z ）对应的离散函数 x ^∗ （ t ）为 NrQht6ku44n1T/0fnvSYzOwc5LIZIwTeH39S8r68JnPiQawV3HpsV9ElxnaRiprF