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4.2 信号的采样和截断

用计算机对时间信号的采样值 x n )进行离散傅里叶变换(DFT)运算时,只能取有限采样点例如 N =1024,2048,4096,…。这相当于用一个高度为1、长度为 T = N Δ t 的矩形计权函数乘以原时间函数。或者说是加个矩形窗,窗口以外的信号均视为零。这种有限的截取引起信息损失。例如,对确定频率的正弦信号进行频谱分析,按理其谱图上只有在确定频率处有一根谱线。但是实际上由于截取有限长度的信号,所以在其频谱图上除了主要频率分量外,还出现了许多附加频率分量,从而造成能量不是集中于确定频率上,部分能量泄露到其他频率上。这种时域上的截断效应会导致频域内附加一些成分,引起能量泄露,给傅里叶变换带来误差。这种误差被称为泄露误差,也被称为截断误差。

4.2.1 信号的截断和泄露

1.用矩形窗截取

(1)对周期信号的整周期截取

考察一个周期为 T 0 的正弦信号 x t ),它仅包含频率为 f 0 =1 /T 0 的正弦分量,如果在其周期内以Δ t = T 0 /N 为间隔均匀采样,且信号及其采样点是无限的,则在频域内得到间隔为 f 0 的无限脉冲序列。以高度为1的矩形窗 ω t )在一个完整周期内截取采样序列。这里,若

在时域以 ω t )截取采样序列,在频域内等效于 W f )和 X f )的卷积,如图4.1所示。

图4.1 矩形窗整周期截取

f m / T 0 正好是 X f )* W f )= W f-f 0 )的零点处,故在频谱上仅在 f 0 处有单一频线,无“泄露”现象。因此,只要矩形窗包含序列的若干完整周期,就都能在 f m / T 0 处使采样序列的加窗谱不歪曲其真实谱。

(2)对周期信号的非整周期截取

当用矩形窗函数 ω t )对周期信号进行非整周期截取时,会产生明显的“泄露”现象(见图4.2)。在 X f )* W f )的谱图中, f 0 n Δ f ,谱线的位置 n Δ f 不尽为频谱的零点重合, W f )的旁瓣会在频率为± m / T 0 处产生,使序列截断后的频谱和真正的频谱不同,有“泄露”。

(3)对任意信号的有限截取

对任意信号 x t )的有限截取,如图4.3所示,会在频谱上产生一种“皱纹效应”,这实质是截断误差的反映。

2.加窗处理

为了减少由截断所造成的泄露误差,可选取一些比矩形窗函数泄露小的其他形状的窗函数。在信号处理过程中采用其他窗函数截取,称为加窗处理,而一般直接截取称为不加窗,实际上相当于加了一个矩形窗。

图4.2 非整周期截取

图4.3 对任意信号的有限截取

加窗处理,也就是对被分析的信号 x t )的不同时刻给予不同的加权,使截断的影响尽量小。一般选择原则是窗函数的旁瓣高度与主瓣高度之比尽量小,且旁瓣高度衰减得快。另外,主瓣的宽度也不能太大,即不能使频率分辨率降低太多。一般是以降低频率分辨率来换取泄露的减少。

减少泄露与提高分辨率两者是矛盾的,实际工作中往往采用折中的办法解决。例如,在确定振动物体自振频率的分析中,要求精确读出峰值的频率而不考虑幅值的精度,则可直接截取,即选用矩形窗。对存在强干扰情况下的窄带信号分析,则可选用旁瓣幅度小的窗函数。总之,一定要针对不同信号和不同处理目的选择窗函数。

4.2.2 窗函数的选择

从信号的数字处理出发,窗函数的引入是不可避免的,因为最简单的截取就意味着通过了矩形窗。

窗函数的提出通常基于它的某种最优性质,其中有一些共同特性可归纳如下:

1)窗函数 ω t )是实偶非负函数。

2) ω t )的傅里叶变换 W f )(窗谱)在原点附近有主瓣,在其两侧有旁瓣。

3)由傅里叶变换的性质:当原函数的 m 阶导数为脉冲时,其象函数的模在 f →∞时趋于 f -m 。因此,若 出现脉冲,则在半对数坐标图上| W f )|的旁瓣分贝数(dB)以 m 20dB/dec(dec表示10倍频程)的斜率衰减。

4)为不失一般性,令 ω t )在原点处为1,且宽度区间是-0.5< t <0.5,即规定

窗函数对截断误差的影响因素主要有主瓣引起的分辨率下降、邻近旁瓣引起的泄露和远处旁瓣引起的泄露。这些因素可用由| W f )/ W (0)|定义的四个形状参数来表征,即

a 1 :旁瓣的最大峰值。

b :主瓣衰减至 a 1 时的频率。

a 2 :当旁瓣峰的规律和渐近线吻合时相应的波纹值。

d :旁瓣峰包络线的渐进衰减率。

图4.4所示以海明(Hamming)窗的时域和频域图说明上述四个形状参数的意义。显然, b 越小,频率分辨率越高; a 1 越小,则经由邻近旁瓣的泄露越少; a 2 越小和 d 越大,则经由远处旁瓣的泄露越少。

(1)矩形窗(见图4.5)

其中,四个形状参数为: b =0.81, a 1 =-13dB, a 2 =-46dB, d =20dB/dec。

(2)汉宁(Hanning)窗(见图4.6)

图4.4 形状参数说明

图4.5 矩形窗

其中,四个形状参数为: b =1.87, a 1 =-32dB, a 2 =-118dB, d =60dB/dec。

(3)海明(Hamming)窗(见图4.7)

其中,四个形状参数为: b =1.91, a 1 =-43dB, a 2 =-63dB, d =20dB/dec。

4.2.3 信号的采样与混叠

1.采样与采样定理

信号的数字化处理,首先要对连续的时间历程信号 x t )进行采样,一般采样都是以等间隔Δ t 取值,得到离散信号 x n )( n =0,1,2,…)。采样过程如图4.8所示。

图4.6 汉宁窗

图4.7 海明窗

图4.8 采样信号

由图4.8可以看到, x n )只是整体 x t )的一部分值,即 x n )与 x t )是局部与整体的关系。这就有一个 x n )能否反映整体 x t ),即能否由 x n )复原到连续信号 x t )的问题。由于 x t )波形的幅值变化程度和采样间隔Δ t 大小有关,而 x t )波形幅值变化程度又取决于 x t )的频率分量组成,故引入采样定理和混叠误差的概念。

采样定理:一个在频率 f m 以上无频率分量的有限带宽信号,可以由它在小于或等于 均匀时间间隔上取值唯一地加以确定,即

这个定理说明,如果在某一频率 f m 以上 x t )的傅里叶变换等于零时,则关于 x t )的全部信息均包含在它的采样间隔小于 的均匀采样信号里。信号 x t )每隔Δ t = T (单位为s)被采样一次,或者说以大于或等于2 f m 采样频率进行采样,这些采样值 x n )包含了 x t )在每一个 t 时刻的信息。

设一个上限频率为 f m 的有限带宽的连续信号 x t ),当| f |> f m 时, X f )=0,如图4.9a、b所示。若用一个脉冲序列 δ T t )去乘 x t )时,则其乘积 x t )· δ T t )是一个间距为 T 的脉冲序列,其在相应的瞬时具有与 x t )值相等的强度,如图4.9c所示,即取样后的信号为

图4.9 采样原理

均匀脉冲序列 δ T t )的傅里叶变换 δ T t )为

也是一个均匀脉冲序列,如图4.9d所示。每个脉冲间隔为 f s =1 /T

根据频域卷积定理,采样后信号 x s t )的傅里叶变换为 X s f ),如图4.9f所示,即

它是由 X f )与脉冲序列 f s δ fs f )卷积而得,即原信号 x t )的频谱每隔 f s =1 /T 周期性地重复一次。显然,只有满足

x s f )才能包含 x t )的全部信息。周期出现的 X f )不会产生首尾重叠的现象,即不混叠。

上述的采样定理又称为奈奎斯特(Nyqusit)定理,其中满足采样的最低采样频率2 f m 称为奈奎斯特采样频率,相应采样间隔称为奈奎斯特采样间隔, f N = 称为折叠频率。

2.混叠误差

T≤ 满足采样定理时,从理论上讲没有发生混叠现象,因此也无混叠误差可言,如图4.10a、b所示。严格讲,如果信号是有限时间的,则将包含所有频率分量。对实测信号来说,随着频率的增加,其对应的幅值| X f )|将随之减小,大部分能量集中在一定的频率范围内,这时舍去高频部分后所造成的误差可以忽略不计。因此,对于实际应用来说,都可能把信号视为某 -f m 值以内有限带宽信号。 f m 值的选择取决于所要求的精度。

T 时,前后两个谱产生部分重叠,如图4.10c所示,产生混叠误差。由于频谱这种首尾端部的重叠, X s f )不再具有 X f )的完整信息,所以再从 X s f )变回 x s t ),信号已经失真不能恢复 x t )。

图4.10 X f )与 X s f )的关系

采样定理是信号数字化处理过程必须遵循的原则,它能保证用一个离散的采样序列代替一个连续的有限带宽的信号,而不丢失任何信息。采样定理实质上指出了再现连续信号所必需的最少数目的离散值,所以传输连续信号的问题,可以归结为传输离散的信号值。 yUdPompeGjZIFkp4mIhQ3EmbeFwGXSf/ZZSVNIPzf08oAIORYSXK3RMDoHfYxrTI

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