4.2 信号的采样和截断

用计算机对时间信号的采样值 x （ n ）进行离散傅里叶变换（DFT）运算时，只能取有限采样点例如 N =1024,2048,4096,…。这相当于用一个高度为1、长度为 T = N Δ t 的矩形计权函数乘以原时间函数。或者说是加个矩形窗，窗口以外的信号均视为零。这种有限的截取引起信息损失。例如，对确定频率的正弦信号进行频谱分析，按理其谱图上只有在确定频率处有一根谱线。但是实际上由于截取有限长度的信号，所以在其频谱图上除了主要频率分量外，还出现了许多附加频率分量，从而造成能量不是集中于确定频率上，部分能量泄露到其他频率上。这种时域上的截断效应会导致频域内附加一些成分，引起能量泄露，给傅里叶变换带来误差。这种误差被称为泄露误差，也被称为截断误差。

4.2.1 信号的截断和泄露

1.用矩形窗截取

（1）对周期信号的整周期截取

考察一个周期为 T ₀ 的正弦信号 x （ t ），它仅包含频率为 f ₀ =1 /T ₀ 的正弦分量，如果在其周期内以Δ t = T ₀ /N 为间隔均匀采样，且信号及其采样点是无限的，则在频域内得到间隔为 f ₀ 的无限脉冲序列。以高度为1的矩形窗 ω （ t ）在一个完整周期内截取采样序列。这里，若

则

在时域以 ω （ t ）截取采样序列，在频域内等效于 W （ f ）和 X （ f ）的卷积，如图4.1所示。

f =± m / T ₀ 正好是 X （ f ）* W （ f ）= W （ f-f ₀ ）的零点处，故在频谱上仅在 f ₀ 处有单一频线，无“泄露”现象。因此，只要矩形窗包含序列的若干完整周期，就都能在 f =± m / T ₀ 处使采样序列的加窗谱不歪曲其真实谱。

（2）对周期信号的非整周期截取

当用矩形窗函数 ω （ t ）对周期信号进行非整周期截取时，会产生明显的“泄露”现象（见图4.2）。在 X （ f ）* W （ f ）的谱图中， f ₀ ≠ n Δ f ，谱线的位置 n Δ f 不尽为频谱的零点重合， W （ f ）的旁瓣会在频率为± m / T ₀ 处产生，使序列截断后的频谱和真正的频谱不同，有“泄露”。

（3）对任意信号的有限截取

对任意信号 x （ t ）的有限截取，如图4.3所示，会在频谱上产生一种“皱纹效应”，这实质是截断误差的反映。

2.加窗处理

为了减少由截断所造成的泄露误差，可选取一些比矩形窗函数泄露小的其他形状的窗函数。在信号处理过程中采用其他窗函数截取，称为加窗处理，而一般直接截取称为不加窗，实际上相当于加了一个矩形窗。

加窗处理，也就是对被分析的信号 x （ t ）的不同时刻给予不同的加权，使截断的影响尽量小。一般选择原则是窗函数的旁瓣高度与主瓣高度之比尽量小，且旁瓣高度衰减得快。另外，主瓣的宽度也不能太大，即不能使频率分辨率降低太多。一般是以降低频率分辨率来换取泄露的减少。

减少泄露与提高分辨率两者是矛盾的，实际工作中往往采用折中的办法解决。例如，在确定振动物体自振频率的分析中，要求精确读出峰值的频率而不考虑幅值的精度，则可直接截取，即选用矩形窗。对存在强干扰情况下的窄带信号分析，则可选用旁瓣幅度小的窗函数。总之，一定要针对不同信号和不同处理目的选择窗函数。

4.2.2 窗函数的选择

从信号的数字处理出发，窗函数的引入是不可避免的，因为最简单的截取就意味着通过了矩形窗。

窗函数的提出通常基于它的某种最优性质，其中有一些共同特性可归纳如下：

1）窗函数 ω （ t ）是实偶非负函数。

2） ω （ t ）的傅里叶变换 W （ f ）（窗谱）在原点附近有主瓣，在其两侧有旁瓣。

3）由傅里叶变换的性质：当原函数的 m 阶导数为脉冲时，其象函数的模在 f →∞时趋于 f ^-m 。因此，若 出现脉冲，则在半对数坐标图上| W （ f ）|的旁瓣分贝数（dB）以 m 20dB/dec（dec表示10倍频程）的斜率衰减。

4）为不失一般性，令 ω （ t ）在原点处为1，且宽度区间是-0.5< t <0.5，即规定

窗函数对截断误差的影响因素主要有主瓣引起的分辨率下降、邻近旁瓣引起的泄露和远处旁瓣引起的泄露。这些因素可用由| W （ f ）/ W （0）|定义的四个形状参数来表征，即

a ₁ ：旁瓣的最大峰值。

b ：主瓣衰减至 a ₁ 时的频率。

a ₂ ：当旁瓣峰的规律和渐近线吻合时相应的波纹值。

d ：旁瓣峰包络线的渐进衰减率。

图4.4所示以海明（Hamming）窗的时域和频域图说明上述四个形状参数的意义。显然， b 越小，频率分辨率越高； a ₁ 越小，则经由邻近旁瓣的泄露越少； a ₂ 越小和 d 越大，则经由远处旁瓣的泄露越少。

（1）矩形窗（见图4.5）

其中，四个形状参数为： b =0.81， a ₁ =-13dB， a ₂ =-46dB， d =20dB/dec。

（2）汉宁（Hanning）窗（见图4.6）

其中，四个形状参数为： b =1.87， a ₁ =-32dB， a ₂ =-118dB， d =60dB/dec。

（3）海明（Hamming）窗（见图4.7）

其中，四个形状参数为： b =1.91， a ₁ =-43dB， a ₂ =-63dB， d =20dB/dec。

4.2.3 信号的采样与混叠

1.采样与采样定理

信号的数字化处理，首先要对连续的时间历程信号 x （ t ）进行采样，一般采样都是以等间隔Δ t 取值，得到离散信号 x （ n ）（ n =0,1,2,…）。采样过程如图4.8所示。

由图4.8可以看到， x （ n ）只是整体 x （ t ）的一部分值，即 x （ n ）与 x （ t ）是局部与整体的关系。这就有一个 x （ n ）能否反映整体 x （ t ），即能否由 x （ n ）复原到连续信号 x （ t ）的问题。由于 x （ t ）波形的幅值变化程度和采样间隔Δ t 大小有关，而 x （ t ）波形幅值变化程度又取决于 x （ t ）的频率分量组成，故引入采样定理和混叠误差的概念。

采样定理：一个在频率 f _m 以上无频率分量的有限带宽信号，可以由它在小于或等于 均匀时间间隔上取值唯一地加以确定，即

这个定理说明，如果在某一频率 f _m 以上 x （ t ）的傅里叶变换等于零时，则关于 x （ t ）的全部信息均包含在它的采样间隔小于 的均匀采样信号里。信号 x （ t ）每隔Δ t = T （单位为s）被采样一次，或者说以大于或等于2 f _m 采样频率进行采样，这些采样值 x （ n ）包含了 x （ t ）在每一个 t 时刻的信息。

设一个上限频率为 f _m 的有限带宽的连续信号 x （ t ），当| f |> f _m 时， X （ f ）=0，如图4.9a、b所示。若用一个脉冲序列 δ _T （ t ）去乘 x （ t ）时，则其乘积 x （ t ）· δ _T （ t ）是一个间距为 T 的脉冲序列，其在相应的瞬时具有与 x （ t ）值相等的强度，如图4.9c所示，即取样后的信号为

均匀脉冲序列 δ _T （ t ）的傅里叶变换 δ _T （ t ）为

也是一个均匀脉冲序列，如图4.9d所示。每个脉冲间隔为 f _s =1 /T 。

根据频域卷积定理，采样后信号 x _s （ t ）的傅里叶变换为 X _s （ f ），如图4.9f所示，即

它是由 X （ f ）与脉冲序列 f _s δ _fs （ f ）卷积而得，即原信号 x （ t ）的频谱每隔 f _s =1 /T 周期性地重复一次。显然，只有满足

或

x _s （ f ）才能包含 x （ t ）的全部信息。周期出现的 X （ f ）不会产生首尾重叠的现象，即不混叠。

上述的采样定理又称为奈奎斯特（Nyqusit）定理，其中满足采样的最低采样频率2 f _m 称为奈奎斯特采样频率，相应采样间隔称为奈奎斯特采样间隔， f _N = 称为折叠频率。

2.混叠误差

当 T≤ 满足采样定理时，从理论上讲没有发生混叠现象，因此也无混叠误差可言，如图4.10a、b所示。严格讲，如果信号是有限时间的，则将包含所有频率分量。对实测信号来说，随着频率的增加，其对应的幅值| X （ f ）|将随之减小，大部分能量集中在一定的频率范围内，这时舍去高频部分后所造成的误差可以忽略不计。因此，对于实际应用来说，都可能把信号视为某 -f _m 值以内有限带宽信号。 f _m 值的选择取决于所要求的精度。

当 T ＞ 时，前后两个谱产生部分重叠，如图4.10c所示，产生混叠误差。由于频谱这种首尾端部的重叠， X _s （ f ）不再具有 X （ f ）的完整信息，所以再从 X _s （ f ）变回 x _s （ t ），信号已经失真不能恢复 x （ t ）。

采样定理是信号数字化处理过程必须遵循的原则，它能保证用一个离散的采样序列代替一个连续的有限带宽的信号，而不丢失任何信息。采样定理实质上指出了再现连续信号所必需的最少数目的离散值，所以传输连续信号的问题，可以归结为传输离散的信号值。 p2kYH0u0R4WGC1bPSxXSc8/2bJlt2zC6yxCEqLdQVGi6o/4wY9d+wb7KsP1NhTk3