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1.傅里叶级数
（1）周期函数与三角函数
对于函数 f （ t ），若存在不为零的常数 T ，对于时间 t 的任何值都有
则将 f （ t ）称为周期函数，将满足式（4-1）的最小整数 T 称为 f （ t ）的周期。
正弦函数是一种常见的描述简谐振动的周期函数，如
是一个以2π /ω 为周期的正弦函数。式中 y 是动点的位置； t 是时间； A 是振幅； φ 是相位角； ω 是角频率，即 ω =2π f 。
除正弦周期函数外，还有非正弦周期函数，它反映复杂的周期运动。非正弦周期函数可分解成若干三角函数之和。也就是说，一个比较复杂的周期运动可以看成许多不同频率的简谐运动的叠加。
（2）周期函数的傅里叶级数展开
任何一个周期为
T
的周期函数
f
（
t
），如果在[
，
]上满足狄利克莱（Dirichlet）条件，则可展开为如下的傅里叶级数，即
式中
以上展开式叫作周期函数 f （ t ）的傅里叶级数，其中 a 0 、 a n 、 b n 为傅里叶系数。在信号处理中，这种展开又叫作频率分析，其中常数 a 0 /2表示信号的静态部分，称为直流分量，而 a 1 cos ωt + b 1 sin ωt , a 2 cos2 ωt + b 2 sin2 ωt ,…, a n cos nωt + b n sin nωt 依次叫作一次谐波、二次谐波…… n 次谐波。
（3）傅里叶级数的复数形式
根据欧拉公式，即
可将式（4-3）写成
若令
则有
把 c 0 、 c n 和 c -n 用统一的 c n 来表示，即
得到
这就是傅里叶级数的复指数形式。
傅里叶级数的以上两种形式在本质上是相同的，但是在应用上复数形式比较方便。系数 c n 有统一的计算公式，而且 c n 和 c -n 的模直接反映了 n 次谐波幅值的大小。 n 次谐波
有幅值
A
n
=
，相角
φ
n
=arctan
，而且复数形式中，
n
次谐波是指
+
c
-n
e
-j
nωt
，其中
c
n
=
，
c
-n
=
，所以有
2.傅里叶积分
傅里叶级数是对周期信号进行频率分析的有效工具，它以角频率 nω （ n =1,2,…）为横坐标，分别以幅值 A n 和相角 φ n 为纵坐标作图，形成幅频图和相频图，从而可以对各次谐波分量加以研究。
对非周期函数来说，任何一个非周期函数 f （ t ）都可看作是由周期为 T 的函数，当 T →∞时转化而来的。由傅里叶级数的复数形式可知
式中
得
令 T →∞，就可看作 f （ t ）的展开式，即
令
ω
n
=
nω
，Δ
ω
=
ω
n
-ω
n
-1
=
，在
T
→∞、Δ
ω
→0的条件下，积分式
的积分上下限变成-∞和+∞，
f
T
（
τ
）变成
f
（
τ
）。离散的频率分布{
ω
n
}在整个
ω
轴上密布，变成连续的分布{
ω
}；和式又是无限累加的，因此可以把这一和式看成积分，即
这就是 f （ t ）的展开式，称为傅里叶积分公式。傅里叶积分存在的条件是函数 f （ t ）分段连续，且在区间上绝对可积。
3.傅里叶变换
（1）傅里叶正变换
式（4-17）中， f （ t ）是定义在（-∞，∞）上绝对可积的函数，无穷积分
叫作 f （ t ）的傅里叶变换，常记作 F （ ω ）= F [ f （ t ）]， F （ ω ）称为 f （ t ）的象函数，是实变量的复值函数； f （ t ）称为 F （ ω ）的原函数，是实变函数。
工程上习惯用频率 f （单位：Hz）为自变量，因为 ω =2π f ，上述傅里叶变换公式可以写成另一种常用形式，即
（2）傅里叶逆变换
设 F （ ω ）的实变量的复值函数，则无穷积分
称为逆傅里叶逆变换。式（4-20）亦可以写成
式（4-20）和式（4-21）式常记作
在频率分析中称 F （ ω ）为 f （ t ）的谱函数，又叫作给定的非周期函数 f （ t ）的谱特性或谱密度函数。由于 F （ ω ）是复值函数，所以具有幅频特性和相频特性。
（3）傅里叶变换的基本性质
1）线性性质。若 F 1 （ ω ）= F ［ f 1 （ t ）］、 F 2 （ ω ）= F ［ f 2 （ t ）］，且 a 、 b 是常数，则
同理有
该性质表明：傅里叶变换完全适用于线性系统分析，时域上的叠加对应于频域上的叠加。
2）相似性质。若 F （ ω ）= F ［ f （ t ）］，有
时间尺度变化：
频率尺度变化：
式中， a 为常实数。
3）平移性质。若将时间函数
f
（
t
）沿时间轴平移±
t
0
，则变换
F
（
ω
）需乘以
；反之若对时间函数
f
（
t
）乘以
，则其变换
F
（
ω
）平移∓
ω
0
，称为复调制，即若
F
（
ω
）=
F
[
f
（
t
）]，则有
和
4）对称性质。如果 f （ t ）是偶函数，则 F （ ω ）也是偶函数；如果 f （ t ）是奇函数，则 F （ ω ）也是奇函数。
5）函数曲线下的面积。函数 f （ t ）曲线下的面积等于变换 F （ ω ）在原点处的数值，即有
反过来，函数在原点处的值 f （0）等于1/（2π）乘以变换 F （ ω ）曲线下的面积，即有
虽然这两个面积是不相等的，但其模的二次方下的面积由帕塞瓦尔定理联系起来，即
6）乘积与卷积。两个函数之积的傅里叶变换等于这两个函数傅里叶变换的卷积。反之，两个函数卷积的傅里叶变换等于两个单独函数的傅里叶变换的乘积。即若 F （ ω ）= F ［ f （ t ）］和 G （ ω ）= F ［ g （ t ）］，则
