3.7 柱面声波的传播

波阵面为柱面的声波称为柱面声波。一无限长的圆柱体，实际上只要长度比声波的波长大许多倍（ L ＞＞ λ ），而圆柱半径却比波长小许多倍（ r ₀ ＜＜ λ ）便可以了。这时所辐射的声波就是轴对称柱面波，其波阵面便是以轴为对称的同心柱面。

在处理柱面声波时，采用柱坐标系统（ r , φ , z ）最为方便。我们通常考虑的情况是柱面声波的最简单的一种形式——均匀的柱面声波。在均匀的柱面声波的波阵面上，振幅是各向均匀的，而柱是无限长的。其满足轴对称的条件，因此与 φ 、 z 无关。这时柱坐标下的波动方程简化为

如果振动是谐和的，则可假设这个方程的解为

把式（3-87）代入式（3-86），便可得到对于 R （ r ）的微分方程

式中， k = 。

式（3-88）是大家熟悉的零阶贝塞尔方程，其解可写为如下形式：

式中， J ₀ （ kr ）为零阶贝塞尔函数； N ₀ （ kr ）为零阶诺依曼函数。

式（3-89）中的两项是驻波形式的解。其中 J ₀ （ kr ）可以看成是与平面驻波中的cos kx 项相对应的， N ₀ （ kr ）可看成是与sin kx 项对应的。引入汉克尔函数，零阶第一类汉克尔函数为

零阶第二类汉克尔函数为

而我们感兴趣的是向外发散的行波。因而将其解表示成零阶第二类汉克尔函数：

当 kr ＞＞1时，零阶第二类汉克尔函数的渐近表示式为

由此得到向外发散的柱面波声压的表示式为

而振速

因而柱面波的声阻抗率

可见，声阻抗率与（ kr ）的关系是复杂的。我们对下面两种极端情况进行讨论：

（1）当 kr =1时

因此

由式（3-99）可见，在 kr ＞＞1的情况下只有声抗率存在。

（2）当 kr ＞＞1时

所以

可见，当 kr 很大时，柱面波的声压和振速与距离的二次方根成比例，而这时的声阻抗为纯阻，并趋于 ρ ₀ c ₀ 。可见，在远场中，柱面波阵面趋于平面波，其波阻抗也趋于平面波的波阻抗。

至于柱面波的声强 kr ＞＞1

其实部为

取实部

所以

式（3-107）表示柱面波声强，其与平面波的表示式类似，但这里 p ≃ ，因此柱面波的声强随距离 r 的增大而衰减：

由于柱面波的波阵面扩展所产生的许多特点和球面波类似，所以柱面波的特性都可从球面波中找到一一对应关系。 eEBtc960/Yl2ooA4aN0zRBw2VaI21oMfXKuX8PlGlNmwcvZm3z/aoni1DEvwBruP