3.6 均匀球面声波的传播

波阵面为球面的声波称为球面声波。点声源打出的声波即为球面波，实际上只要声源的线度远小于波长，即可近似认为其是辐射球面波。称波阵面上声振幅是等幅且同相的球面波为均匀球面波。

研究球面声波的传播有实际的意义。声波在海中传播时大都可看作球面波，此外，在处理复杂声源时，我们可以把它看成许多点源的组合，因此此时的声场可以认为是由一系列球面波的叠加。

了解了平面声波的传播情况之后，对于球面波传播的讨论就容易得多。和讨论平面声波一样，我们仍分为如下几个方面进行讨论。

3.6.1 均匀球面声波波动方程及其解

由式（3-3）可以写出三维空间球坐标的波动方程形式：

设在均匀无限介质中有一个简谐脉动的小球，其辐射的声波即为各向均匀简谐球面波。在波阵面上各点声振动的振幅和相位均相等，且以简谐脉动的形式沿声源矢径 r 向外传播。因此，各向均匀球面波声场中声压 p 仅与观察点和声源之间的距离 r 有关，而与 φ 、 θ 无关。因此，它满足小振幅的波动方程为

做一变量变换，令 X = pr ，则式（3-62）可以写成

式（3-61）与式（3-39）形式相似，其解应为

因此可得

所以

式中， 代表以声速 c ₀ 从位于原点的声源沿 r 正方向传播的波，称为发散波； （ t + ）代表从远距离处向坐标原点沿 r 负方向传播的会聚波。这两种波的波阵面均为球面，在传播过程中波形没有改变。当考虑到球形声源在均匀无限介质中发射声波时，不会出现反射波，这时只取向外扩散的球面波，则

对于谐和过程有

由此可见，球面声波在传播过程中虽然波形不变，但其声压幅度却随距离 r 成反比衰减。这从物理概念上可以理解成是由于球面波的波阵面随距离增加而不断扩大所引起的。

3.6.2 球面声波的声阻抗率

由运动方程

得

把 p 的代表式（3-68）代入式（3-70），积分后得

与平面波情况一样，令

式中

Z _a 为声阻抗率，可见声阻抗率有虚实两部分。

式中：

称 r _a 为声阻率， x _a 为声抗率，而 m _a 为某一惯性质量。

3.6.3 球面声波的声强和声功率

上面讨论了球面波的声阻抗率 Z _a ，我们称 Z _a 的倒数

为声导纳，因此有

或

考虑球面波的声强时，不能像平面声波一样由 v 来决定，而应该是由 v ₁ = 来决定。因此，球面波的声强为

即

可以看出，用声压表示的球面波的声强在关系形式上仍与平面波声场的一样。但因为球面波声压与距离成反比，因而声强不再处处相等，而是随距离 r 的二次方反比地减小。

声强也可表示为

式中， p _e 和 v _e 分别为声场中同一点声压及振速的有效值。

可见，在理想介质中，球面波声强 ，这是由于球面波的波阵面是按 s =4π r ² 规律扩张的。

至于声功率有

由于

所以

由式（3-85）可见，声功率 W _α 与距离 r 无关，由此可知，在单位时间内通过任意球面的声能量是一样的，此即能量守恒定律的体现。 7o3m+lYRcaosfHT/X9dwLwmiarQW7ox3Mim9N2GEwzysUNCIDHpjpQY3xKzK0VEG