3.5 平面波在无界空间中的传播

首先讨论平面波声场。因为平面波是最简单形式的波，所以通过对它的讨论可以了解声波传播的许多特点，有助于对其他声场特点的了解。

3.5.1 平面波波动方程及其解

所谓平面波，是指同相位面（波阵面）为平面的波，即在同一时刻振动相位相同的质点在同一无限延展的平面上。

为简便起见，设波沿 x 方向传播，波面振幅均匀。于是声压表示为 p （ x ， t ）， = =0，波动方程可简化为

平面波的波动方程式（3-39）的解我们已在数学物理方法中碰见过了。为解此方程，这里引入新变量 ξ = x-c ₀ t 、 η = x + c ₀ t 代替 x 、 t 。引入这种变量后，式（3-39）将变为

按 ξ 积分式（3-40），得

式中， f ₂ （ η ）为 η 的任意函数，再一次积分，即得 p = f ₁ （ ξ ） f ₂ （ η ），于是有

显然，平面波声场中的其余有关量（如振速 v 、位移 ξ ）的分布情形可由类似式（3-42）的函数来描述。

由式（3-42）可以看出同时存在两个波： f ₁ （ t- ）表示沿 x 正方向传播的波， f ₂ （ t + ）表示沿 x 负方向传播的波， c ₀ 是波传播的速度，即声速。在常温下，空气中的声速约为340m/s，海水中约为1500m/s；至于 f ₁ 和 f ₂ 的形式，则由振动过程的形式决定。

如果振动过程是角频率为 ω 的谐和振动（以下大多情况都讨论这种振动过程），则波动方程的解可写成如下的形式：

或

式中， k 为波数（ λ 为波长）， k = = ； A ₁ 和 A ₂ 是两个待定常数，由边界条件和振源条件决定。

观察式（3-44）的第一项 。当 t =0时，在 x ₀ 处的声压为 ，当 t = t ₁ 时，该声压 将在 x = x ₀ + 处重现，这是因为时刻 t = t ₁ ， x = x ₀ + 位置处声压为 = = ，即声波在 t ₁ 时间内沿 x 正方向传播的距离为 ωt ₁ / k 。传播距离与经过时间之比等于

因此， c ₀ 等于单位时间内振动的传播距离，也就是声波在介质中的传播速度或波速。类似的讨论可证明，式（3-44）中的第二项代表了沿 x 负方向行进的波即反射波。

从式（3-44）中同时还可看出，任一时刻 t ₀ 具有相同相位 φ ₀ 的质点的轨迹是一个平面。只要令

这就是说，这种声波传播过程中，等相位面是平面。

如果波传播过程没产生反射现象（无限介质中的平面波），则不存在反向波，因此系数 A ₂ =0；再设 x =0处的声源振动时，在毗邻介质中产生了 p _m e ^{j ωt} 的声压，这样就可以确定常数 A ₁ 为声压的振幅值 p _m ，于是求得声场中的声压为

式（3-48）描述的声场是一个波阵面为平面、沿 x 方向以速度 c ₀ 传播的平面行波。可以看出，平面波在均匀的理想介质中传播时，声压幅值 p _m 是不随传播距离改变的常数，也就是说声波在传播过程中幅度不会有任何衰减。

3.5.2 振速与声压的关系

由式（3-7）我们可以得到振速为

式中， v ₀ 为积分常数，它代表介质质点的整体运动速度，假定 v ₀ =0，因此有

把平面波声压的表示式（3-48）代入式（3-50），积分整理后得

或

可以看出，平面波声场中任何位置处，声压和质点速度都是同相位的。必须指出的是：声波以速度 c ₀ 传播出去，并不意味着介质质点由一处流到远处。事实上，可求得质点位移为

任意位置 x ₀ 处质点的位移为

式中， ξ _m 是位移振幅。在任意位置如 x ₀ ，则 kx ₀ 也是常数。因此 x ₀ 处的质点只是在平衡位置附近来回振动。实际上也正是通过介质质点的这种在平衡位置附近的来回振动，又影响了周围以至更远的介质质点也跟着在平衡位置附近来回振动起来，从而把声源振动的能量辐射出去。

3.5.3 声阻抗与介质特征阻抗

定义声场中某一点声压与该点的质点振速的比值为该位置的波阻抗，又称声阻抗率：

声场中某位置的声阻抗率 Z _a 一般讲可能是复数。像电阻抗一样，其实数部分反映了能量的损耗。在理想介质中，实数的声阻抗率也具有“损耗”的意思，不过它代表的不是能量转化成热，而是代表着能量从一处向另一处的转移，即“传播损耗”。

由式（3-52）和式（3-55）可知，对于平面波有 Z _a = ρ ₀ c ₀ 。由此可见，在平面波声场中，各位置的声阻抗率数值上都相同，且为一实数。因此在平面声场中，各位置上都无能量的蓄存，在前一个位置上的能量可以完全转移到后一个位置上，这是平面波的一个重要特点。

注意到乘积 ρ ₀ c ₀ 值是介质固有的一个常数，我们定义常数 Z ₀ = ρ ₀ c ₀ 为介质的特征阻抗，它完全是由介质的性质决定的，与介质中传播的波无关，它的数值对声传播的影响比起 ρ ₀ 和 c ₀ 单独的影响要大，所以这个量在声学中具有特殊的地位。可以看出平面波的阻抗恰好等于介质的特征阻抗，如果借用电路中的语言来描述此时的传播特性，则可以说平面波处与介质的特征阻抗相匹配。

3.5.4 平面声波的能量关系

根据式（3-21），声场中的声能密度为

从式（3-56）可以看出，平面波声场中任何位置上动能和势能的变化是同相的，动能达到最大值时势能也达到最大值，因而总能量随时间由零变到最大值，它是动能或势能最大值的2倍。对于平面波为 v = v _m cos（ ωt-kx ），所以声能密度 ε = cos ² （ ωt-kx ）。

定义声能密度的时间平均值为平均声能密度，即

因此对平面波而言，有

根据声强的一般表达式

式中， p _e 、 ν _e 、 ξ _e 分别为声压、振幅和位移的有效值。

由此可见，平面波声场中声强与声压值二次方或振幅值的二次方成正比，因此振幅越大，声波强度也越大。由于理想介质中平面声波的声压和振速幅值不随距离改变，因此理想介质中平面波的声强也是各地皆相等，不随传播距离变化。

由声功率表达式（3-28）可得平面波的声功率为

式中， S 为波阵面的面积。 I8lBS3DQk1iUdHMI6aGYjgC1zY73dCPkghj/AjTaptIxsaSQY340TTLGc2JERfjw