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弹性薄板是二维弹性体，可以承受弯矩。设薄板的中性面在变形前为平面。建立（ x ， y ， z ）坐标系，（ x ， y ）坐标面与变形前的中性面重合， z 轴垂直向下（见图2.1）。薄板受到沿 z 轴的分布力 f （ x ， y ， t ）作用。在中性面上任意点处取长宽分别为d x 和d y 的矩形微元体。将与 x 轴和 y 轴正交的横截面分别记为 S x 和 S y ，假设弯曲变形后截面仍保持平面。将板的中性面法线视为截面 S x 和 S y 的交线，则弯曲变形后必保持直线。弯曲变形后，中性面上各点产生沿 z 轴的挠度 w （ x ， y ， t ），且引起截面 S x 和 S y 的偏转。设截面 S x 绕 y 轴的偏角为 θ x ，截面 S y 绕 x 轴的偏角为 θ y 。在小挠度的前提下，偏角 θ x 和 θ y 可用挠度 w （ x ， y ， t ）对 x 轴和 y 轴的变化率代替：
图2.1 弹性薄板
则截面上坐标为 z 的任意点产生沿 x 轴的弹性位移 u 和沿 y 轴的弹性位移 v 分别为
位移 u 和 v 对 x 轴和 y 轴的变化率导致微元体沿 x 轴和 y 轴的正应变 ε x 和 ε y ：
除正应变以外，位移 u 对 y 轴的变化率和位移 v 对 x 轴的变化率导致微元体在（ x , y ）平面内的切应变 γ xy 为
代入广义胡克定律计算正应力和切应力：
σ
x
、
σ
y
、
τ
xy
在截面
S
x
和
S
y
上的积分为零。设
、
分别为截面
S
x
和
S
y
上沿
z
轴单位长度的剪力，板的厚度为
h
，密度为
ρ
。根据达朗贝尔原理，考虑微元体的惯性力，列出微元体沿
z
方向的力平衡方程（见图2.2）：
计算截面 S x 的单位长度上作用的绕 y 轴的弯矩 M y 和绕 x 轴的转矩 M yx ，以及截面 S y 的单位长度上作用的绕 x 轴的弯矩 M x 和绕 y 轴的转矩 M xy ，得到
图2.2 微元体沿 z 方向的力平衡
式中， D 为板的抗弯刚度：
忽略截面转动的惯性力矩，列写微元体绕 y 轴的力矩平衡条件（见图2.3）：
略去d x 、d y 的三次项，得到
与此类似，从微元体绕 x 轴的力矩平衡条件导出（见图2.4）
将式（2-62）、式（2-63）代入式（2-58），得到
图2.3 微元体绕 y 轴的力矩平衡
图2.4 微元体绕 x 轴的力矩平衡
将式（2-59）代入后，利用二重拉普拉斯算子得
导出薄板的振动方程为
本节研究的圆环，假定为等截面的而且截面尺寸和环中心线半径相比要小得多，同时截面在振动过程中仍然保持平面。选择圆柱坐标系 Rθz ，圆环在振动中除了扩张振动之外，还有扭转振动，如图2.5所示。设其绕轴线的转角为 ψ ，于是截面上各点有三个方向的位移，设其沿 R 、 θ 、 z 方向的位移为 u 、 v 、 w 。现以轴线（截面中心线）上各点的位移为 u 、 v 、 w ，绕轴线的转角为 ψ ，略去高阶微量，则环上任意点 a （ R , θ , z ）的位移将为
图2.5 圆环的振动
根据小变形情况下圆柱坐标系中的柯西方程，截面上各点应变和应力分别为
上述关于剪切变形只限于平面假设，因此只能适用于圆截面的圆环，以下只讨论圆截面的圆环。圆环的势能表达式为
式中， A 为圆环截面积； J z 、 J r 分别为截面对于通过形心而分别平行于 z 轴和 R 轴的轴线的惯性矩； J P 为圆截面的极惯性矩。
动能表达式为
式中，
、
、
分别为圆环上任意一点
a
（
R
，
θ
，
z
）在
u
、
v
、
w
三个方向上的速度，且
在动能和势能表达式中可以发现， u 、 v 和 w 、 ψ 之间不发生耦合，因此可将圆环振动分解为环面内的振动和环面外的振动。
1.环面内的振动
变分方程为
讨论环面内的振动时，在动能和势能表达式中令 w = ψ =0，然后将其代入变分方程式（2-72），经过变分运算，并考虑δ u 、δ v 的任意性，略去小量得到
此方程包括圆环在环面内的伸缩和弯曲振动，由于
J
z
=
Ar
2
，要使弯曲振动的有关项和伸缩振动的有关项同量级，则由
ε
θ
=
+
，可得
u
=-
。根据这个关系，假设
将式（2-74）代入式（2-73），可求得圆环在环平面内弯曲振动频率为
当 n =0时， p 0 =0， u 0 =0， v 0 = B 0 ，是圆环的刚体转动。
当 n =1时， p 1 =0， u = -A 1 cos θ + B 1 sin θ ， v = A 1 sin θ + B 1 cos θ ，是圆环的刚体平动。
考虑到 J z = Ar 2 ，将式（2-73）进一步简化，便得到圆环的伸缩振动方程：
此时设圆环做波数为 n 的伸缩振动的位移函数为
将式（2-77）代入式（2-76）可解得
当 n =0时，圆环切向位移为零，只做均匀的径向振动。
2.圆环的扭转振动和面外弯曲振动
在动能及势能表达式中令 u = v =0，然后代入变分方程式（2-72）中，经过变分运算，并考虑δ w 和δ ψ ，得
以上两个方程彼此之间发生耦合，即面内弯曲振动与扭转振动是互相耦合的，现设其振动时的位移函数为
将式（2-80）代入式（2-79），并考虑到 J z = Ar 2 ，得到频率方程为
所以有
式（2-82）中，由于根号中的后一项比前一项小得多，所以根号取正值或取负值时，频率值的差值较大。频率中较高的一类是常说的扭转振动，低的一类是弯曲振动。对于扭转振动，其频率值为根号取正值，即
当 n =0时，有
相应的位移函数为
和伸缩振动频率相比，扭转振动的基频低于伸缩振动的基频。
对于弯曲振动，即根号前取负号，可得
式中， ν 为泊松系数。
与前面的讨论比较可以看出，面内弯曲振动的频率和面外弯曲振动的频率是相当接近的。
对于半径为 R 、长为 L 的圆柱壳体（见图2.6），取图中的圆柱坐标系（ x , θ ， z ），其中 x 、 θ 、 z 分别表示轴向、切向和径向， R 、 h 、 L 分别为圆柱壳体的中面半径、轴向长度和厚度， u 、 v 、 w 分别为轴向、切向和径向的位移。
图2.6 圆柱壳体的圆柱坐标
若壳体中曲面上的一点 P 的轴向、切向、法向位移分别为 u 、 v 、 w ，则中面应变与中面位移之间的关系式为
式中， ε 为薄膜应变分量； χ 为弯曲应变分量。
内力与圆柱壳中面应变的关系式为
式中， N 为单位长度薄膜力； M 为单位长度力矩。
薄膜刚度 K 和弯曲刚度 D 分别为
圆柱壳体的一般性内力动平衡方程为
式中，剪力表达式为
将式（2-87）代入式（2-88），再代入式（2-90），即可得剪力以中面位移分量表示的圆柱壳体的基本微分方程组：
式中
在电机的振动噪声分析中常见的是两端简支的有限长圆柱壳体（见图2.7）的振动，即圆柱壳体端部边界各点的法向和切向移动是约束的，转动和轴向移动是自由的。对于两端简支的圆柱壳体，其振型边界条件为
式中，凡带 * 者均为响应力学量的振型。
设满足全部边界条件［式（2-94）］的圆柱壳体非轴对称振动的位移振型解为
图2.7 两端简支的圆柱壳体
由于自由振动的圆柱壳体轴向、切向及径向的面压力均为零，即 q x = q θ = q z =0，将上述位移振型解代入圆柱壳体的一般性内力动平衡方程，可得如下齐次线性代数方程组：
式中
为求得振型的非零解，必有式（2-96）的系数行列式为零，展开可得
式中
式（2-98）即为两端简支圆柱壳体的频率方程，求得频率系数 Ω 2 的三个根为
式中
从而解得固有频率为
式中， ω i , mn 的下标 m 、 n 代表响应振型沿轴向有 m 个半波，沿周向有 n 个半波。对应一组（ m , n ），有三个频率（ i =1,2,3），代表 U 、 V 、 W 间比值不同，但均有 m 个轴向半波和 n 个周向半波。三个频率中最低一个相应于振型中 W 为主，其他两个频率值要高过一个量级，相应于 U 、 V 为主。对应每一个 ω i , mn 或 Ω i , mn ，从式（2-96）中可求得一组振型比，例如取 c =1，则由前两个方程可解出
因此与 ω i ， mn 相应的位移振型为
