1.3.3 谐响应分析方法

任何持续的周期荷载将在结构系统中产生持续的周期响应，该周期响应称为谐响应。谐响应分析是用于确定线性结构在简谐荷载作用下的稳态响应。其目的是计算出结构在几种频率下的响应，并得到响应值和频率的变化关系曲线（如幅频），从这些曲线上可以找到“峰值”响应，并进一步观察峰值频率对应的应力。谐响应分析只计算结构的稳态受迫振动，而不考虑在激励开始时的瞬态振动。谐响应分析能预测结构的持续动力特性，从而克服共振、疲劳及其他受迫振动引起的不良影响。

谐响应分析仅考虑按荷载的激励频率振动的稳态响应部分，因阻尼作用一般与激励荷载不同相，因此可设节点位移向量为

式中， u _max 为最大位移，一般各自由度的最大位移各不相同；Ω为荷载的激励圆频率（rad/s），Ω＝2π f 其中 f 为荷载的某个激励频率（Hz），输入为激励频率范围； t 为时间； φ 为相对参照系的位移相位角（rad），一般各自由度的相位不同；j同前文， 。

为便于描述，根据欧拉公式，上面公式可写成

式中，{ u ₁ }为位移向量的实部，{ u ₁ }＝{ u _max cos φ }；{ u ₂ }为位移向量的虚部，{ u ₂ }＝{ u _max sin φ }。

与位移向量类似，荷载向量也可写成如下形式：

式中， F _max 为荷载的幅值； φ 为荷载相对参照系的相位角（rad）。{ F ₁ }为荷载向量的实部，{ F ₁ }＝{ F _max cos φ }{ F ₂ }为荷载向量的虚部，{ F ₂ }＝{ F _max sin φ }。

将式上面位移向量和载荷向量代入结构体系运动方程得

（－Ω ² ［ M ］+jΩ［ C ］+［ K ］）（{ u ₁ }+j{ u ₂ }）e ^{jΩ t} ＝（{ F ₁ }+j{ F ₂ }）e ^{jΩ t}

考虑到e ^{jΩ t} 的任意性，得特征方程为

（［ K ］－Ω ² ［ M ］+jΩ［ C ］）（{ u ₁ }+j{ u ₂ }）＝{ F ₁ }+j{ F ₂ }

上式的求解可采用完全法、缩减法和模态叠加法，下面分别介绍。

完全法：完全法是3种方法中最简单的，它采用完整的系统矩阵计算谐响应而不是缩减矩阵，矩阵可为对称或非对称，其特点是：

1）容易使用，因为不必关心如何选取主自由度或振型；

2）使用完整矩阵，因此不涉及质量矩阵的近似；

3）允许有非对称矩阵，这种矩阵在声学或轴承问题中很典型；

4）用单一处理过程计算出所有的位移和应力；

5）可定义各种类型的荷载，节点力、外加位移、单元荷载（压力和温度）；

6）可在几何模型上定义荷载；

7）当采用波前求解器时，这种方法通常比其他方法费用高。

缩减法：缩减法通过采用主自由度和缩减矩阵来降低问题的规模。主自由度处的位移被计算出来后，解可以扩展到初始的完整自由度集上，其特点是：

1）在采用Frontal求解器时比完全法更快且费用低；

2）可以考虑预应力效应；

3）初始解只计算主自由度处的位移，要得到完整的位移、应力和力的解，需执行扩展过程；

4）不能施加单元荷载（压力、温度等）；

5）所有荷载必须施加在用户定义的主自由度上，不能在几何模型上加载。

模态叠加法：模态叠加法通过模态分析得到的振型乘上因子，并求和计算结构响应，其特点是：

1）对于许多问题，此法比缩减法或完全法更快且费用低；

2）模态分析中施加的荷载可以通过命令用于谐响应分析中；

3）可以使解按结构的固有频率聚集，可得到更平滑、更精确的响应曲线图；

4）可以考虑预应力效应；

5）允许考虑振型阻尼（阻尼系数为频率的函数）；

6）不能施加非零位移；

7）在模态分析中使用PowerDynamics法时，初始条件中不能有预加的荷载。

另外，需要说明的是，谐响应分析的3种方法存在共同的限制，所有荷载必须随时间按正弦规律变化；所有荷载必须有相同的频率，谐响应分析不能计算频率不同的多个荷载同时作用时的响应，但在POSTI中可以对两种荷载工况进行叠加得到总体响应；不考虑非线性特性；不考虑瞬态效应；重启动分析不可用，如要再施加其他简谐荷载，需另进行一次新的分析。 4jNflMyYZLEBlxlKMCzjIDjMAkW3tCQ8MrIEQ2rz5ttPQsMeg6bY0TjDZttbUEzI