1.2.5 强度理论分析

材料在外力作用下有两种不同的破坏形式：一是在不发生显著塑性变形时的突然断裂，称为脆性破坏；二是因发生显著塑性变形而不能继续承载的破坏，称为塑性破坏。破坏的原因十分复杂。对于单向应力状态，由于可直接作拉伸或压缩试验，通常就用破坏载荷除以试样的横截面积而得到的极限应力（强度极限或屈服极限，见材料的力学性能）作为判断材料破坏的标准。但在二向应力状态下，材料内破坏点处的主应力 σ ₁ 、 σ ₂ 不为零；在三向应力状态的一般情况下，三个主应力 σ ₁ 、 σ ₂ 和 σ ₃ 均不为零。不为零的应力分量有不同比例的无穷多个组合，不能用实验逐个确定。由于工程上的需要，两百多年来，人们对材料破坏的原因，提出了各种不同的假说。但这些假说都只能被某些破坏试验所证实，而不能解释所有材料的破坏现象。这些假说统称强度理论。

4个基本的强度理论分别为第一强度理论、第二强度理论、第三强度理论和第四强度理论。

1. 第一强度理论

第一强度理论又称为最大拉应力理论，其表述是材料发生断裂是由最大拉应力引起，即最大拉应力达到某一极限值时材料发生断裂。

在简单拉伸试验中，3个主应力有两个是零，最大主应力就是试件横截面上该点的应力，当这个应力达到材料的极限强度 σ _b 时，试件就断裂。因此，根据此强度理论，通过简单拉伸试验，可知材料的极限应力就是 σ _b 。于是在复杂应力状态下，材料的破坏条件是

σ ₁ ≥ σ _b

考虑安全系数以后的强度条件是

σ ₁ ≤［ σ ］

需指出的是：上式中的 σ ₁ 必须为拉应力。在没有拉应力的三向压缩应力状态下，显然是不能采用第一强度理论来建立强度条件的。

2. 第二强度理论

第二强度理论又称最大伸长应变理论。它是根据J.-V.彭赛列的最大应变理论改进而成的。主要适用于脆性材料。它假定，无论材料内一点的应力状态如何，只要材料内该点的最大伸长应变 ε ₁ 达到了单向拉伸断裂时最大伸长应变的极限值 ε _i ，材料就发生断裂破坏，其破坏条件为

ε ₁ ≥ ε _i （ ε _i ＞0）

对于三向应力状态， ，式中， σ ₁ 、 σ ₂ 和 σ ₃ 为危险点由大到小的3个主应力； E 为材料的弹性模量； μ 为泊松比（见材料的力学性能）。在单向拉伸时有 ε ₁ ＝ ，所以这种理论的破坏条件可用主应力表示为

σ ₁ －μ （ σ ₂ + σ ₃ ）＝ σ _b

考虑安全系数以后的强度条件是

σ ₁ －μ （ σ ₂ + σ ₃ ）≤［ σ ］

第二强度理论适用于脆性材料，且最大压应力的绝对值大于最大拉应力的情形。

3. 第三强度理论

第三强度理论又称最大剪应力理论或特雷斯卡屈服准则。法国的C.-A. de库仑于1773年，H.特雷斯卡于1868年分别提出和研究过这一理论。该理论假定，最大剪应力是引起材料屈服的原因，即不论在什么样的应力状态下，只要材料内某处的最大剪应力 τ _max 达到了单向拉伸屈服时剪应力的极限值 τ _y ，材料就在该处出现显著塑性变形或屈服。由于 ，所以这个理论的塑性破坏条件为 σ ₁ －σ ₃ ≥ σ _y ，式中， σ _y 是屈服正应力。

4. 第四强度理论

第四强度理论又称最大形状改变比能理论。它是波兰的M. T.胡贝尔于1904年从总应变能理论改进而来的。德国的R. von米泽斯于1913年，美国的H. 亨奇于1925年都对这一理论作过进一步的研究和阐述。

该理论认为，无论什么应力状态，只要畸变能密度 υ _d 达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。单向拉伸下，屈服应力为 σ _s ，响应的畸变能密度为 ，这就是导致屈服的畸变能密度的极限值。任意应力状态下，只要畸变能密度 υ _d 达到上述极限值，便引起材料的屈服。故畸变能密度屈服准则为

在任意应力状态下

该理论适用于塑性材料，由这个理论导出的屈服准则为

把 σ _s 除以安全因子得到许用应力［ σ ］，按第四强度理论得到的强度条件是

几种塑性材料钢、铜、铝的试验表面，畸变能密度屈服准则与试验相当吻合，比第三强度理论更为符合试验结果。

可以把四个强度理论的强度条件写成统一的公式：

σ _r ≤［ σ ］

式中， σ _r 为相当应力。它由3个主应力按一定形式组合而成。按照第一强度理论到第四强度理论的顺序，相当应力分别为

以上介绍了4种常用的强度理论。铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，通常以断裂的形式失效，宜采用第一和第二强度理论。碳钢、铜、铝等塑性材料，通常以屈服的形式失效，宜采用第三和第四强度理论。 BfeGraLNdLJUv7QEt+BTgd++8siADO60Z2NHExMmYM6E24P3glcEOO790PGRsA/8