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1.2.4 应力与应变分析

零件内部内力的大小并不能决定零件是否被破坏,即内力大的零件不一定被破坏,内力小的零件不一定不被破坏,内力不能用来衡量材料的强度,因此就需要引进应力的概念。

图1-2-5 混合强化时屈服面变化图

应力是度量材料强度的物理量,研究应力的目的就是研究零件结构的强度。

在零件上任意一个界面 ϕ 上一点A的周围取一微小面积Δ A ,假定施加在该微小面积上的内力是Δ F ,则公式为 ,表示零件在A点处 ϕ 平面上的全应力矢量,也就是说应力就是某点处沿某个方向单位面积上内力的大小。

全应力在截面 ϕ 的法线方向的分量称为零件A点处平面 ϕ 上的正应力,用符号 σ 表示。而全应力在截面 ϕ 上的分量称为构件A点处平面 ϕ 上的切应力,用符号 τ 表示。

在国际单位制中,长度的单位为米(m),力的单位为牛顿(N),应力的单位为帕斯卡(Pa),即1m 2 面积上的内力为1N,则应力就被叫做1Pa,即1Pa=1N/m 2 ,由于该单位很小,工程上基本上都采用兆帕(MPa)或者吉帕(GPa)。

除了以上使用国际单位制外,还有一种经常使用的特殊单位,1psi=1bl/in 2

需要注意的是应力有3个要素:

1)应力是对零件中某个点来说的;

2)应力是对某个平面来说的;

3)应力具有大小和单位。应力实际上是零件中某点处沿某个方向内力强弱程度的衡量。

应变概念

材料力学研究应力的目的是为了要研究改进结构的强度,除此之外,还要研究零件结构的变形和刚度,而零件刚度的好坏,不能用零件的总体变形来度量,从而也不能度量材料的刚度。要度量材料的刚度以及计算零件的变形,必须引进相对变形,应变就是描述材料相对变形的量,它是纯几何量。

应变是度量材料刚度的几何量,研究应变的目的就是为了研究零件结构的变形和刚度。

(1)正应变的定义 材料力学中应变有两种:一种为正应变或线应变,另一种称为切应变或角应变。假设零件中的一点 P 沿方向 S 有一微元长度的线段 ,零件变形后线段变为 ,则应变为

称为零件在 P 点处沿着 S 方向的正应变或线应变,正应变就是单位长度的线段的伸长量。它的几何意义是零件材料在该点处沿所考察方向的变形程度的大小。

(2)切应变的定义 假设零件中的一点 P 沿两个相互垂直的方向 α β 分别由两个微元长度的线段 ,零件变形以后两线段分别变为 ,若两线段相对于原来的方位转动的角度分别为 γ α γ β ,则

γ αβ P )= γ α + γ β

称为零件在 P 点处 α β 两个方向之间的切应变或角应变。也可以简单地说,切应变就是考察点处某个直角的改变量,它的几何意义是零件材料在该点处的两个垂直方向之间,变形前后疏密程度的大小。

切应变以直角的减小为正,增大为负,特别的 P 点处,有3个坐标轴之间的切应变可表示为

γ xy P )= γ x + γ y γ yz P )= γ y + γ z γ zx P )= γ z + γ x

以上表达式,在以后的变形分析中将会应用到,同样切应变也是无量纲的量,以弧度计(rad)。

与应力类似,应变也有3个要素:①应变是对零件中某点来说的;②应变是对通过该点的某个方向来说的;③应变具有大小,但无单位。另外从应变的几何意义可以看出,应变实质上是零件中某点材料沿某个方向的变形程度的度量,以及绕该点的材料变形前后的疏密程度的度量。

(3)单元体概念 在零件中一点 P 处的近旁连续使用6次截面法可得到一个微小的六面体,该六面体的边长均为微元长度,则该六面体称为零件 P 处的一个单元体或微元体,单元体的表面称为微分面,法线方向和坐标轴的正方向一致的微分面称为正向面,和坐标轴的负方向一致的微分面称为负向面。

需注意的是,材料力学中单元体应理解为边长为零但有方位的六面体,单元体中任何点都是所考察的点。

若以单元体作为研究对象,则每个微分面上作用有一个正应力和一个切应力,由于切应力的方向是未知的,可将切应力在微分面内向两个坐标方向分解,则单元体的每个微分面上均有一个正应力和两个相互垂直的切应力。图中只画出了单元体正向面上的应力情况,负向面上的应力和相对应的正向面上的应力大小相等,方向相反。

特别要注意的是,单元体的3个正向面或3个负向面,实际指的是通过P点的三个相互垂直的面,所以应力也就是P点的三个相互垂直的面上的应力。

单元体在6个微分面上的内力作用下处于平衡状态,对单元体中心与坐标轴平行的轴取力矩平衡,可以很容易证明相互垂直的微分面上的切应力在数值上是相等的。

τ xy τ yx τ yz τ zy τ zx τ xz

此关系称为切应力互等定理。

材料的破坏是从1点开始的,研究单元体的目的是为了研究材料的强度和变形,从而分析实际工程构件的强度和变形,在安全经济条件下选择构件的材料和几何尺寸。

单元体受力最基本最简单的情况有两种:一种称为单向应力状态;另一种称为纯剪切应力状态。在单向应力状态下,单元体的微分面上只有唯一的正应力作用,而在纯剪切应力状态下,单元体的微分面上只有唯一的切应力作用,这两种基本应力状态统称为简单应力状态,而其他应力状态称为复杂应力状态。

拉伸压缩杆件中各点的应力状态就是单向应力状态,而扭转圆轴中各点的应力状态是纯剪切应力状态。

(4)简单胡克定律 应力具有两种形式即正应力和切应力,同样应变也具有两种形式即正应变和切应变,显然对某种材料而言,应力和应变之间必然存在某种关系,这种关系称为应力应变关系或物理关系。

在简单应力状态即单向应力状态和纯剪切应力状态下,材料的应力应变关系具有十分简单的形式。

单向拉伸试验表明,当正应力 σ 不超过一定限度时,材料在应力作用方向的线应变和正应变成正比,可写为

σ

上式称为胡克定律,常数 E 称为弹性模量,是材料常数,仅与材料的力学性能有关。

圆柱简单扭转试验表明当前应力 τ 不超过一定限度时,材料的切应力与切应变成正比,可写为

τ

上式称为剪切胡克定律常数, G 称为剪切弹性模量,是材料常数,仅与材料的力学性能有关。

胡克定律和剪切胡克定律通称为简单胡克定律,满足简单胡克定律的材料称为线弹性材料,必须注意的是,两个胡克定律的应用是有条件的,即必须是小变形的情况下才适用,当材料变形比较大时,胡克定律不能反映实际材料的应力应变关系,另外只适用于单向应力状态,对其他应力状态来说,即使是小变形情况也不适用。 atlFb6KbMNiZPrQfGCbpPCSw7S7TaXoebcHbfyoWFmgYZpTXagi6rqmZvGKtZp3N

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