1.2.4 应力与应变分析

零件内部内力的大小并不能决定零件是否被破坏，即内力大的零件不一定被破坏，内力小的零件不一定不被破坏，内力不能用来衡量材料的强度，因此就需要引进应力的概念。

应力是度量材料强度的物理量，研究应力的目的就是研究零件结构的强度。

在零件上任意一个界面 ϕ 上一点A的周围取一微小面积Δ A ，假定施加在该微小面积上的内力是Δ F ，则公式为 ，表示零件在A点处 ϕ 平面上的全应力矢量，也就是说应力就是某点处沿某个方向单位面积上内力的大小。

全应力在截面 ϕ 的法线方向的分量称为零件A点处平面 ϕ 上的正应力，用符号 σ 表示。而全应力在截面 ϕ 上的分量称为构件A点处平面 ϕ 上的切应力，用符号 τ 表示。

在国际单位制中，长度的单位为米（m），力的单位为牛顿（N），应力的单位为帕斯卡（Pa），即1m ² 面积上的内力为1N，则应力就被叫做1Pa，即1Pa＝1N/m ² ，由于该单位很小，工程上基本上都采用兆帕（MPa）或者吉帕（GPa）。

除了以上使用国际单位制外，还有一种经常使用的特殊单位，1psi＝1bl/in ² 。

需要注意的是应力有3个要素：

1）应力是对零件中某个点来说的；

2）应力是对某个平面来说的；

3）应力具有大小和单位。应力实际上是零件中某点处沿某个方向内力强弱程度的衡量。

应变概念

材料力学研究应力的目的是为了要研究改进结构的强度，除此之外，还要研究零件结构的变形和刚度，而零件刚度的好坏，不能用零件的总体变形来度量，从而也不能度量材料的刚度。要度量材料的刚度以及计算零件的变形，必须引进相对变形，应变就是描述材料相对变形的量，它是纯几何量。

应变是度量材料刚度的几何量，研究应变的目的就是为了研究零件结构的变形和刚度。

（1）正应变的定义 材料力学中应变有两种：一种为正应变或线应变，另一种称为切应变或角应变。假设零件中的一点 P 沿方向 S 有一微元长度的线段 ，零件变形后线段变为 ，则应变为

称为零件在 P 点处沿着 S 方向的正应变或线应变，正应变就是单位长度的线段的伸长量。它的几何意义是零件材料在该点处沿所考察方向的变形程度的大小。

（2）切应变的定义 假设零件中的一点 P 沿两个相互垂直的方向 α 和 β 分别由两个微元长度的线段 和 ，零件变形以后两线段分别变为 和 ，若两线段相对于原来的方位转动的角度分别为 γ _α 和 γ _β ，则

γ _αβ （ P ）＝ γ _α + γ _β

称为零件在 P 点处 α 和 β 两个方向之间的切应变或角应变。也可以简单地说，切应变就是考察点处某个直角的改变量，它的几何意义是零件材料在该点处的两个垂直方向之间，变形前后疏密程度的大小。

切应变以直角的减小为正，增大为负，特别的 P 点处，有3个坐标轴之间的切应变可表示为

γ _xy （ P ）＝ γ _x + γ _y ， γ _yz （ P ）＝ γ _y + γ _z ， γ _zx （ P ）＝ γ _z + γ _x

以上表达式，在以后的变形分析中将会应用到，同样切应变也是无量纲的量，以弧度计（rad）。

与应力类似，应变也有3个要素：①应变是对零件中某点来说的；②应变是对通过该点的某个方向来说的；③应变具有大小，但无单位。另外从应变的几何意义可以看出，应变实质上是零件中某点材料沿某个方向的变形程度的度量，以及绕该点的材料变形前后的疏密程度的度量。

（3）单元体概念 在零件中一点 P 处的近旁连续使用6次截面法可得到一个微小的六面体，该六面体的边长均为微元长度，则该六面体称为零件 P 处的一个单元体或微元体，单元体的表面称为微分面，法线方向和坐标轴的正方向一致的微分面称为正向面，和坐标轴的负方向一致的微分面称为负向面。

需注意的是，材料力学中单元体应理解为边长为零但有方位的六面体，单元体中任何点都是所考察的点。

若以单元体作为研究对象，则每个微分面上作用有一个正应力和一个切应力，由于切应力的方向是未知的，可将切应力在微分面内向两个坐标方向分解，则单元体的每个微分面上均有一个正应力和两个相互垂直的切应力。图中只画出了单元体正向面上的应力情况，负向面上的应力和相对应的正向面上的应力大小相等，方向相反。

特别要注意的是，单元体的3个正向面或3个负向面，实际指的是通过P点的三个相互垂直的面，所以应力也就是P点的三个相互垂直的面上的应力。

单元体在6个微分面上的内力作用下处于平衡状态，对单元体中心与坐标轴平行的轴取力矩平衡，可以很容易证明相互垂直的微分面上的切应力在数值上是相等的。

τ _xy ＝ τ _yx ， τ _yz ＝ τ _zy ， τ _zx ＝ τ _xz

此关系称为切应力互等定理。

材料的破坏是从1点开始的，研究单元体的目的是为了研究材料的强度和变形，从而分析实际工程构件的强度和变形，在安全经济条件下选择构件的材料和几何尺寸。

单元体受力最基本最简单的情况有两种：一种称为单向应力状态；另一种称为纯剪切应力状态。在单向应力状态下，单元体的微分面上只有唯一的正应力作用，而在纯剪切应力状态下，单元体的微分面上只有唯一的切应力作用，这两种基本应力状态统称为简单应力状态，而其他应力状态称为复杂应力状态。

拉伸压缩杆件中各点的应力状态就是单向应力状态，而扭转圆轴中各点的应力状态是纯剪切应力状态。

（4）简单胡克定律 应力具有两种形式即正应力和切应力，同样应变也具有两种形式即正应变和切应变，显然对某种材料而言，应力和应变之间必然存在某种关系，这种关系称为应力应变关系或物理关系。

在简单应力状态即单向应力状态和纯剪切应力状态下，材料的应力应变关系具有十分简单的形式。

单向拉伸试验表明，当正应力 σ 不超过一定限度时，材料在应力作用方向的线应变和正应变成正比，可写为

σ ＝ Eε

上式称为胡克定律，常数 E 称为弹性模量，是材料常数，仅与材料的力学性能有关。

圆柱简单扭转试验表明当前应力 τ 不超过一定限度时，材料的切应力与切应变成正比，可写为

τ ＝ Gγ

上式称为剪切胡克定律常数， G 称为剪切弹性模量，是材料常数，仅与材料的力学性能有关。

胡克定律和剪切胡克定律通称为简单胡克定律，满足简单胡克定律的材料称为线弹性材料，必须注意的是，两个胡克定律的应用是有条件的，即必须是小变形的情况下才适用，当材料变形比较大时，胡克定律不能反映实际材料的应力应变关系，另外只适用于单向应力状态，对其他应力状态来说，即使是小变形情况也不适用。 j7wR9jA4KIzlGvZYY6HwylWRjNAdns5b9IqikCKCr2bQpH7knOol/xGdCjq4GYGH