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1.5 正则化与交叉验证
模型选择的典型方法是正则化（regularization）。正则化是结构风险最小化策略的实现，是在经验风险上加一个正则化项（regularizer）或罚项（penalty term）。正则化项一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，正则化值就越大。比如，正则化项可以是模型参数向量的范数。
正则化一般具有如下形式：
其中，第1项是经验风险，第2项是正则化项， λ ≥0为调整两者之间关系的系数。
正则化项可以取不同的形式。例如，回归问题中，损失函数是平方损失，正则化项可以是参数向量的 L 2 范数：
这里，‖ w ‖表示参数向量 w 的 L 2 范数。
正则化项也可以是参数向量的 L 1 范数：
这里，‖ w ‖ 1 表示参数向量 w 的 L 1 范数。
第1项的经验风险较小的模型可能较复杂（有多个非零参数），这时第2项的模型复杂度会较大。正则化的作用是选择经验风险与模型复杂度同时较小的模型。
正则化符合奥卡姆剃刀（Occam’s razor）原理。奥卡姆剃刀原理应用于模型选择时变为以下想法：在所有可能选择的模型中，能够很好地解释已知数据并且十分简单才是最好的模型，也就是应该选择的模型。从贝叶斯估计的角度来看，正则化项对应于模型的先验概率。可以假设复杂的模型有较小的先验概率，简单的模型有较大的先验概率。
另一种常用的模型选择方法是交叉验证（cross validation）。
如果给定的样本数据充足，进行模型选择的一种简单方法是随机地将数据集切分成三部分，分别为训练集（training set）、验证集（validation set）和测试集（test set）。训练集用来训练模型，验证集用于模型的选择，而测试集用于最终对学习方法的评估。在学习到的不同复杂度的模型中，选择对验证集有最小预测误差的模型。由于验证集有足够多的数据，用它对模型进行选择也是有效的。
但是，在许多实际应用中数据是不充足的。为了选择好的模型，可以采用交叉验证方法。交叉验证的基本想法是重复地使用数据；把给定的数据进行切分，将切分的数据集组合为训练集与测试集，在此基础上反复地进行训练、测试以及模型选择。
简单交叉验证方法是：首先随机地将已给数据分为两部分，一部分作为训练集，另一部分作为测试集（例如，70%的数据为训练集，30%的数据为测试集）；然后用训练集在各种条件下（例如，不同的参数个数）训练模型，从而得到不同的模型；在测试集上评价各个模型的测试误差，选出测试误差最小的模型。
应用最多的是 S 折交叉验证（ S -fold cross validation），方法如下：首先随机地将已给数据切分为 S 个互不相交、大小相同的子集；然后利用 S −1个子集的数据训练模型，利用余下的子集测试模型；将这一过程对可能的 S 种选择重复进行；最后选出 S 次评测中平均测试误差最小的模型。
S 折交叉验证的特殊情形是 S = N ，称为留一交叉验证（leave-one-out cross validation），往往在数据缺乏的情况下使用。这里， N 是给定数据集的容量。