3.3　其他矩阵创建函数

NymPy中矩阵的创建除了前面介绍的函数，还有其他许多函数。本节首先介绍empty（）、ones（）和zeros（），它们的定义和使用方法都非常类似，如下所示。

np.empty(shape, dtype=float, order='C')
np.ones(shape, dtype=float, order='C')
np.zeros(shape, dtype=float, order='C')

这三个函数分别可用于创建空矩阵、元素全为1的矩阵和元素全为0的矩阵，以下代码展示了如何使用empty（）、ones（）和zeros（）函数生成ndarray矩阵对象。

代码运行结果如下所示。这三个函数使用时，需要给定待创建的矩阵的形状shape，它可以是一个列表、元组或ndarray矩阵对象，但不能是一个集合，此外，empty（）函数生成的ndarray矩阵对象的值是系统随机产生的。

对于 对角矩阵 （diagonal matrix）和 单位矩阵 （identity matrix），它们可以通过identity（）、eye（）和diag（）三个函数创建。identity（）函数可用于生成 方阵 （square matrix），其定义如下。

np. identity(n,dtype=float)

其中n是一个整数，表示方阵的行数或者列数，方阵的形状是 n × n ，dtype默认为float。另外一个可以生成对角矩阵和单位矩阵的函数是eye（），它的定义如下。

numpy.eye(n,m=None,k=0,dtype=float,order='C')

其中，n是矩阵的行数，m是矩阵的列数，m默认等于n，k是对角线的位置，dtype默认为float，order默认为‘C’。对比这三个创建对角矩阵的函数，eye（）函数比identity（）函数更强大，identity（）只能生成方阵，形状为 n × n ，而eye（）函数可以生成 n × m 的矩阵。此外，eye（）函数可以通过 k 调整非零元素所在对角线的位置。如图3-5所示为一个4 × 4的矩阵，该矩阵展示了 k 不同时对应的非零元素所在对角线的位置。

图3-5 k 不同时对角线位置

查看NumPy的代码可以发现，identity（）函数实际上封装了eye（）的函数，以下代码对比了使用eye（）函数和identity（）函数创建对角矩阵或者单位矩阵的例子。

上述代码的运行结果如下。

第三种可以用来创建对角矩阵的函数是diag（），它的定义如下。

numpy.diag(v, k=0)

其中，v可以是一维向量，也可以是二维矩阵。k表示对角线的位置，默认值为0，即为主对角线。除了可以用来创建对角矩阵，diag（）函数还可以提取某矩阵对角线上的元素。这也是diag（）函数比eye（）函数强大的地方。如图3-6展示了如何使用diag（）函数提取矩阵的对角线元素或者生成对角矩阵。

图3-6　np.diag（）使用例子，（a）原矩阵 A ，（b）diag（）函数用于提取矩阵对角线上的元素，（c）使用diag（）函数生成对角矩阵

以下代码展示了图3-6中的结果。

如图3-7展示了如何在diag（）函数中使用一个一维向量创建不同的对角矩阵，这些对角矩阵非零元素的对角线的位置可以通过在diag（）函数中指定，矩阵的形状也因此发生变化。在图3-7（a）中，由于对角线的位置默认为0，因此非零元素位于主对角线上，此时矩阵的形状是3 × 3。当对角线的位置分别为1和-1时，生成的矩阵的形状是4 × 4，非零元素分别位于主对角线的上方和下方。

图3-7　np.diag（）通过一个向量创建矩阵（例子中a = [1,2,3]）

接下来将会讨论表3-2中第四种矩阵生成方法，包括arange（）函数、linspace（）函数和logspace（）函数。arange（）和linspace（）函数都可以用来生成某一区间内均匀分布的数值构成的向量。arange（）函数根据给定的起始值、终止值和步长创建一维的等差数列向量，而linspace（）函数根据给定的起始值、终止值和向量元素个数来创建一维等差数列的向量。logspace（）函数则是创建一维等比数列的向量。

arange（）、linspace（）和logspace（）函数的定义如下。

其中，start是起始值，在arange（）函数中默认为0。stop为终止值，arange（）函数生成的等差数列不包含终止值。step为步长，默认为1。在linspace（）和logspace（）函数中需要指定生成的元素个数num，默认值为50。此外，endpoint默认为True，表示在linsapce（）和logspace（）函数生成的数列包含终止值stop，若endpoint = False，则生成的数列不包含终止值。logspace（）函数中还可以指定等比数列的底数，默认为10。虽然这三个函数只能生成一维向量，但可以通过reshape（）函数将这些一维向量元素转化为矩阵形式，在3.5节中将会详细讨论。以下代码展示了在命令窗口中使用这几个函数的例子。

此外，zeros_like（）、empty_like（）、ones_like（）和full_like（）这四个函数可以用来创建一个和某矩阵对象形状一样的矩阵，并填充指定的元素。zeros_like（）、empty_like（）、ones_like（）函数分别将元素替换为0、None和1，这三个函数的定义很类似，如下所示。

在上述函数定义中，a是原来的ndarray矩阵对象，dtype是指定的数据类型，默认为None，即数据类型和a一致，order指定数据在内存中存储的次序，默认为k，即和a的数据在内存中的存储次序一致，shape是用来指定新ndarray矩阵对象的形状，默认为None，即形状和a一致。一般而言，不建议修改形状，因为这些函数的初衷是帮助用户创建和a形状一致的ndarray矩阵对象。

full_like（）函数稍有不同，它多了一个参数fill_value，这个参数可以用来指定新创建的ndarray矩阵对象中需要填充的元素值。full_like（）函数的其他参数和zeros_like（）、empty_like（）及ones_like（）函数一致。

numpy.full_like(a, fill_value, dtype=None, order='K'，shape=None)

以下代码例子展示了如何使用这四个函数。

运行结果如下。

图3-8　几何形式的网格

meshgrid（）函数常常用来生成二维平面坐标系中的横纵坐标，且把横坐标 x 和纵坐标 y 分别存在 X 和 Y 两个矩阵里，如图3-8所示。在3D绘图里，竖坐标 z 可以是横坐标 x 和纵坐标 y 计算的函数。

此外，本节的开头介绍了几何空间的索引和矩阵的索引方式是相反的。如图3-8所示是几何空间索引。meshgrid（）函数还提供了获得二维矩阵索引号的方法。如图3-9所示为矩阵索引形式的网格。对比两种网格，采用几何空间索引方式获得的网格形状是3 × 5，而采用矩阵形式的网格形状是5 × 3。

图3-9　矩阵索引形式的网格

NumPy中meshgrid（）函数的定义如下。

numpy.meshgrid(*xi, sparse=False, indexing='xy')

其中*xi代表数量不确定的一维向量，用户可提供 n 个一维向量用来表示生成 n 维网格。sparse默认为False，表示生成 稠密矩阵 （dense matrix），当sparse为True时，表示将生成 稀疏矩阵 （sparse matrix）。在矩阵中，若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目，并且非0元素分布无规律时，则该矩阵为稀疏矩阵；若非0元素数目占大多数时，则该矩阵为稠密矩阵。indexing用来控制生成不同索引方式的网格，当indexing ='xy'时，表示生成几何网格，当indexing ='ij'时，表示生成矩阵索引形式的网格。

读者可运行以下代码，生成图3-8和图3-9两种不同的网格。

以下例子展示了使用meshgrid（）函数生成网格并绘制三维图，如图3-10所示。

图3-10　meshgrid（）函数用于绘图

本节最后介绍如何使用fromfunction（）函数创建ndarray矩阵对象。fromfunction（）函数可以通过别的函数来创建更复杂的矩阵，fromfunction（）函数的定义如下。

np.fromfunction(function, shape, dtype)

其中传入的函数function既可以是lambda匿名函数，也可以是用def定义的普通函数。shape是一个元组，用来生成矩阵网格。

以下代码展示了如何使用fromfunction（）函数和lambda匿名函数创建ndarray矩阵对象。

前文介绍了使用meshgrid（）函数创建二维坐标网格，生成网格的横坐标 x 和纵坐标 y 矩阵，进而通过函数计算竖坐标 z 的值。fromfunction（）函数提供了一种更简捷的方法，可以自动生成二维坐标的网格并根据函数完成计算。在以下例子中，fromfunction（）函数调用了另外一个使用def定义的函数，在调用这个函数时，还提供了一个元组（5,3），这个元组会被用来生成矩阵索引型网格。以下例子生成的网格如图3-9所示。

运行结果如下。 5e41GNGJVO2qhGO80IGhfC3uECUco63tO9HIlmy16pgSL3f7+/3EF4nclE9FXaZA