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在第2章随机过程，讲解过利用公式直接计算得到股票的价格。众所周知，股票价格的变动经常被认为是一个随机的过程，下面，将用蒙特卡罗模拟来预测股票价格。如图3-7所示为利用蒙特卡罗模拟进行股价预测的流程图。首先基于历史数据估计模型的参数，然后利用蒙特卡罗模拟预测未来股价走势。
图3-7 蒙特卡罗模拟预测未来股价走势
在这里，假定已知某股票昨天股价为 S t- 1 ，日收益为 r ，那么今天的股价 S t 为：
通过式（3-7）可知，只要能够预测股票的日收益率，就可以得到股票的价格。股票的日收益率被认为是随机的，可以用一个随机过程来产生，在这里用维纳过程来模拟。日收益率为漂移项与波动项之和。漂移项为历史日收益率的平均值与方差的一半的差。波动项则为历史波动率与一个服从标准正态分布的随机数的积。
其中， ε （ t ）是服从标准正态分布的随机数。
综合以上两式，可以得到预测今日股价的公式：
以苹果公司股票为例，首先需要确定式（3-9）的参数，也就是建模中的模型校准，一般可以通过分析历史数据得到。下面的代码，可以提取从2010年1月1日至2019年12月31日苹果公司股票的调整收盘价，并作图展示，如图3-8所示。
图3-8 苹果公司（AAPL）股票调整收盘价历史数据（2010.01.01—2019.12.31）
如下面代码，利用历史数据，可以计算股票的日对数收益率，如图3-9所示为日对数收益率的分布。
图3-9 苹果公司（AAPL）股票日对数收益率的分布
通过前面得到的日对数收益率，利用下面代码，可得到模型的参数。
模型的参数如下。
最后，利用校准得到的参数，可以进行蒙特卡罗模拟。下面为程序预测之后60天的股价变化情况，模拟次数设定为2000次。如图3-10（a）所示为2000次模拟的60天内每天的股价变化。如图3-10（b）所示为最后一天，即第60天时股价的分布情况。
图3-10 蒙特卡罗模拟股价
配合之前代码，以下代码绘制图3-10。
