2.7　几何布朗运动

几何布朗运动 （Geometric Brownian Motion, GBM）是一种连续时间情况下的随机过程，因为其中随机变量的对数遵循维纳过程（布朗运动），所以也被称为 指数布朗运动 （exponential Brownian motion）。

前面在介绍维纳过程时，讨论过用维纳过程对股票价格进行建模。而几何布朗运动被认为可以更精确地预测股价，因此是最为常用的描述股票价格的模型。著名的布莱克－舒尔斯（Black-Scholes）期权定价模型就是基于几何布朗运动进行推导的。

之所以几何布朗运动是描述股票价格变化的一种理想的模型，主要基于其下面几个特点。

但是，也需要注意几何布朗运动存在以下缺陷。

几何布朗运动的数学表达式非常简洁。如果一个随机过程 S _t 满足如式（2-36）所示的 随机偏微分方程 （Stochastic Differential Equation, SDE），那么 S _t 遵循几何布朗运动。

其中， W _t 为维纳过程（布朗运动），等号右边第一项包含为常数的漂移率 µ ，反映了模型的确定性的走势；后面一项包含亦为常数的波动率 σ ，反映了模型中随机不确定性的部分。

下面将详细介绍几何布朗运动 S 的求解。根据前面介绍过的伊藤引理，对于一个关于时间 t 和维纳过程 S 的函数 f （ t , S ）进行微分，数学表达式为：

结合伊藤乘法表，可以获得下式。

如果把 f （ t , S ）用下式替换：

则有以下结论：

结合以上各项，可以推导如下：

对式（2-41）左右两边从0到 t 积分可以得到：

其中， S （0）和 S （ t ）为在时刻0和 t 时函数的值。因此，求解 S （ t ）的值可以用下式表示。

可以进一步求解 S （ t ）的期望和方差，其结果分别为：

在实际的模拟中，往往需要用到 S （ t ）的离散表达式，其形式如下式所示。

前面的推导用到了一些数学上的公式，在接下来的介绍中，会结合具体的例子，对几何布朗运动预测股票价格进行详细的讲解。

下面的代码首先从雅虎数据库中提取了从2010年9月1日到2020年9月30日十年之间苹果公司股票的收盘价格，然后对其进行了可视化，如图2-17所示。

从图2-17可以看到，苹果公司股票价格遵循一个“蜿蜒曲折”的路径，但是其整体趋势是在不断升高的，这反映了股票价格的长期走势，但是在短期上价格频繁地上下变化，反映了股票价格随机的波动性。

利用前面推导出的几何布朗运动的公式，建立模型，可以对股票价格进行预测。模型需要的参数如下所示。

在使用模型进行预测之前，首先要进行 模型校准 （model calibration），即从历史数据中分析得到模型的参数。这个模型中需要漂移常数和波动率两个参数。通过下面的代码，分析2010年9月1日到2020年9月30日苹果公司股票的历史数据，可以校准得到这两个参数的数值。

模型漂移常数和波动率。

在校准得到模型参数之后，利用刚才推导的公式，以漂移常数0.001，波动率0.018模拟了股票在一个月内的价格走势，并绘制了股价走势图2-18。

如图2-18所示仅为一次模拟的结果，感兴趣的读者可以多次运行代码，可以发现，每次模拟结果都互不相同，这是由于模型中随机项的影响。因此在实际应用中，一般会利用蒙特卡罗方法进行模拟，本书第3章蒙特卡罗模拟会对此有详细介绍。

本章从随机变量谈起，首先引入随机过程的概念。接着，依次介绍了几个重要的随机过程—马尔可夫过程、马丁格尔、维纳过程、随机漫步以及几何布朗运动。这几个随机过程的重要性，体现在了它们在金融分析建模中的广泛应用。并且，这几个过程并不是孤立的，它们互相之间有着紧密的内在联系，比如维纳过程是具有连续时间和连续空间状态的马尔可夫过程，以及一维随机漫步也可以看作一个状态空间是整数的马尔可夫链等。另外，本章还介绍了著名的伊藤引理。伊藤引理以及伊藤微积分解决了随机过程进行微分和积分的难题，大大促进了现代金融数学的发展。本章最后，通过代码详细解释了一个用几何布朗运动模型预测股票价格的例子，这个示例秉承简洁明了的原则，主要目的是力求使读者对随机过程应用于实际有更加感性的认识。 8ypZKGJS8OmZNAh7KJSfpu5zCyW+D9qxy2idn1q/vJIci6jvDsX/nUz8DhlZMBza