2.5　维纳过程

维纳过程 （Wiener process）是指在单位时间内变量变化的期望值服从标准正态分布的一种随机过程，它是一个马尔可夫过程。对于维纳过程的探寻，可以追溯到1827年英国植物学家 罗伯特 · 布朗 （Robert Brown）观察到的花粉微粒的无规则运动，因此维纳过程也被称作 布朗运动 （Brownian motion）。但是严格来说，布朗运动是一种物理现象，它是泛指悬浮在液体中的微小颗粒表现出的无规则运动，而维纳过程则是模拟布朗运动现象的模型。在实际的应用当中，大家往往对二者不加区分。

Robert Brown,（1773—1858）, Scottish botanist

Best known for his descriptions of cell nuclei and of the continuous motion of minute particles in solution, which came to be called Brownian motion.

（Source: https://www.britannica.com/）

数学上对布朗运动现象的严谨定义描述，直到1918年才由美国数学家 诺伯特 · 维纳 （Norbert Wiener）正式提出，也由此得名维纳过程。维纳过程通常表示为

维纳过程通过下列三个假设定义。

（1）初始值为0，其概率为0，即：

（2）增量在任意两个不同的时间段独立，即：

任意两两独立。

（3）增量服从如式（2-15）所示的高斯分布。

维纳过程是基于增量定义的，但是结合前述假设1和假设3，可以得到：

从上式可知，维纳过程是一个在每个时间点都以线性增长的 t 为方差的正态分布的随机过程。

广义维纳过程是维纳过程与另一个漂移率恒定过程的叠加，其数学表达式为：

其中， t 代表时间， µ 表示均值， σ 为标准差。

图2-13为广义维纳过程示意图。

下面的代码模拟了以下三种维纳过程：（1）均值为0，标准差为1；（2）均值为0，标准差为0.5；（3）均值为0.8，标准差为0.5。

从图2-14可以看到，所有三条曲线都呈现出了随机的波动性。其中，蓝色曲线要比橘黄色曲线的波动幅度更大，这是因为其标准差大。而同时具有非零恒定项和漂移项的广义维纳过程（绿色曲线），漂移项会围绕恒定项直线（红色）不断波动。建议大家调整均值和标准差的大小，重新运行程序，观察生成的图形，以便更好地理解这两个参数对维纳过程的影响。