2.4　随机漫步

随机漫步 （random walk）是指从起始点开始移动的一个随机过程。随机漫步的每一步均无“记忆性”，即每一步对其他步无任何影响，因此随机漫步具有马尔可夫链的性质。随机漫步可以处于不同的维度，本节会依次介绍一维、二维和三维随机漫步。

首先从最简单的 一维随机漫步 （one-dimensional random walk）开始介绍。如图2-9所示，假定图中的红点，从原点处开始在数轴上移动。它可以随机地向前或向后移动一格，向前移动一格为+1，向后移动一格为-1，向前或向后移动的概率是相同的，均为50%。图2-9详细展示了随机移动五步的示意图。

假设这五步移动的距离分别为 d ₁ 、 d ₂ 、 d ₃ 、 d ₄ 和 d ₅ ，则移动五步后，红点的位置 L 可以用数学式表示为：

那么，如果多次重复这个试验，位置的坐标值的平均是多少呢？因为对于任何一次移动，要么向前，要么向后，概率又是相等的，所以每一次移动距离的平均为0，如式（2-7）所示。

因此，多次试验后，其位置坐标值的平均为：

但是，多次移动后位置坐标值的平均，对于这个红点最终在数轴上的真正位置，无法给出有价值的信息。换一个角度考虑，因为位置坐标值的平方，即 L ² 一定不为负值，通过求 L ² 移动的平均值，则可以进一步得到 L 的位置的坐标。以 N 次移动为例，通过式（2-9）可以计算 L ² 。

很明显， d _i 值为+1或-1，因此 为1。 包含两个不同的移动步，所以为0。由此可知：

即距离的平方的平均值为 N ，那么在 N 次移动后，红点距离原点的距离为：

比如，如果移动了9步，那么这时红点距离原点的期望距离为3，当然这只是期望值，这并不代表每次移动9步后，红点距离原点的距离恰好为3。

使用下面的代码，可以模拟5个一维随机漫步的路径。代码中，使用了Numpy运算包中的random.choice（）函数，来随机产生每一步。设定的步数为10000步。

运行代码后，生成了图2-10。在图中，因为其随机性，五条路径虽然都是从绿方格起始，但是红圆点代表的终止点均不相同。

二维随机漫步 （two-dimensional random walk）是指在一个二维平面上四个可能方向上随机游走。如图2-11所示，从绿方格起始，在红圆点处终止。

请读者运行以下代码绘制图2-11。

三维随机漫步 （three-dimensional random walk）则是在三维空间随机游走。下面的代码模拟了一个三维随机漫步的过程。

运行代码生成了图2-12。这里的三维随机漫步也是从绿方格处起始，在红圆点处终止。起始点与终止点之间的路径完全遵从随机过程，每次运行代码都会产生完全不同的另外一幅路径图形。

随机漫步是非常奇妙且有意思的一种现象。在现实世界中，粒子的布朗运动、觅食动物的搜索路径、基质中的活细胞、股票价格的变化等都是随机漫步。

在金融领域，随机漫步理论认为证券价格的波动是无规律的随机漫步，这是因为证券市场的透明性，证券的价格会基本反映其本身价值。造成市场波动的主要原因是突发的新的经济、政治事件。而这些事件是随机的，无法进行预测的。在1967年6月，《福布斯》杂志的编辑做了一个非常有趣的试验，用将飞镖投向《纽约时报》的股票市场专栏的办法选出了一组普通股股票的投资组合。在漫长的17年后，历经越南战争、水门事件、古巴导弹危机、能源危机等重大事件，在1984年6月对这组用飞镖选出的投资组合进行评估时，它不可思议地以每年9.5%的复利增值，击败了绝大多数的基金经理。这个有趣的试验被认为印证了金融市场是符合随机漫步理论的。

当然，对于随机漫步理论的质疑也一直存在，他们认为股价并不能完全反映出所有的影响因素，可以预见，对于它的讨论将继续进行下去。 8ypZKGJS8OmZNAh7KJSfpu5zCyW+D9qxy2idn1q/vJIci6jvDsX/nUz8DhlZMBza