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ARCH模型形式非常简单，也可以很好地描述波动率，但是为了保证条件方差为正值，往往需要引入很多滞后值，建立高阶模型，这就需要很多的参数。为了解决这个问题，丹麦经济学家 提姆 · 波勒斯勒夫 （Tim Bollerslev）在ARCH模型基础上，通过引用条件方差滞后值，在1986年提出了 广义自回归条件异方差模型 （generalized ARCH model, GARCH），即 GARCH模型 。GARCH模型是对ARCH波动率建模的一种重要推广，迅速在金融领域得到了巨大的成功。在其提出之后，又有诸如NGARCH、IGARCH、EGARCH等一系列针对不同应用的衍生模型相继出现。
Tim Bollerslev（1958–）is a Danish economist, currently the Juanita and Clifton Kreps Professor of Economics at Duke University. Professor Bollerslev conducts research in the areas of time-series econometrics, financial econometrics, and empirical asset pricing finance. He is particularly well known for his developments of econometric models and procedures for analyzing and forecasting financial market volatility.（Sources: https://scholars.duke.edu/person/tim.bollerslev）
GARCH模型的表达式如下：
可见，GARCH模型在形式上与ARCH模型相似，本质上它是在ARCH模型的基础上，引入了滞后的波动率平方项
。另外，表达式中的
L
和
L
是模型中含有的滞后序列的个数，分别对应之前时
12
刻的收益率
X
项和波动率
σ
项。在表达式中，需要满足
ω
>0，α
i
≥0，β
j
≥0，
L
1
>0以及
L
2
>0，这可以确保得到正的波动率。另外，为了保证模型的无条件方差有限且不变，并且条件方差可以随时间变化，参数
α
i
和
β
i
还需要满足式（1-38）。
对于GARCH模型，当
L
1
=1,
L
2
=1时，便是其中形式最简单的GARCH（1,1）模型，即时刻
t
的波动率平方
等于一个大于0的常数ω，加上时刻
t
-1的收益率
X
t
−1
的平方项，再加上时刻
t
-1的波动率σ
t
−1
的平方，即：
式（1-39）中的
项，在ARCH模型中没有，它的引入使得历史波动率的影响能在模型中体现，从而弥补了ARCH模型的不足。
下面还是以最简单的GARCH（1,1）模型为例研究GARCH模型的性质。GARCH（1,1）模型的无条件波动率可以做如下的变换与推导。
从而得到：
无论从ARCH模型和GARCH模型的表达式还是实际意义来看，都可以认为ARCH模型是GARCH模型的特殊形式，即ARCH模型是GARCH模型中波动率平方项
前系数β=0时的情况。因此，也
j
与ARCH模型一样，GARCH模型可以很好地反映波动率聚集现象，在条件方差变大的情况下，后面会倾向于出现较大的对数收益率。另外，相对于ARCH模型高阶的情况，GARCH往往会给出一个更加简洁有效的波动率模型。
下面的代码使用了与1.4节完全相同的标准普尔的数据，计算对数回报率。接着，同样地利用arch_model（）函数进行拟合，但是在设定这个函数的参数时，需要设定参数vol为'GARCH'，p为1，q为1，即这个拟合模型为GARCH（1,1）。通过拟合，最终打印输出GARCH模型的拟合结果汇总，以及绘制标准残差和条件波动率的图形，如图1-20所示。
图1-20 GARCH（1,1）模型标准残差和条件波动率
GARCH模型结果汇总如下。
观察图1-20，标准化残差近似为一个平稳序列，这从一个角度说明GARCH（1, 1）模型对于分析该问题是适合的。
另外，利用下面代码，也可以把日回报率和条件波动率用图形展示出来。
图1-21中反映出本例子中所用的GARCH（1,1）模型，条件异方差非常好地表现了波动率的变化。
图1-21 日回报率和GARCH（1）模型条件波动率
同样地，GARCH（1,1）模型参数也可以通过查阅汇总表格或者运行下面命令而获得。
garchmodel.params
拟合得到的模型参数输出如下。
因此，该GARCH（1,1）模型的表达式为：
