1.2　历史波动率

波动率 （volatility）是用统计的方法对资产价格偏离基准程度的一个度量，通常用希腊字母 σ 表示。在金融数学中，波动率实质就是资产价格变化的标准差。期权定价中使用的波动率通常以一年作为时间单位，因此此时波动率为一年连续复利回报率的标准差；而风险控制领域的波动率通常以一天为时间单位，此时的波动率对应每天连续复利回报率的标准差。

如图1-9所示，波动率一般可以分为两种：一种是利用历史数据计算得到，称为 历史波动率 （historical volatility），它是通过回溯并分析历史上已经出现的价格而得到的，因此也叫 回望波动率 （backward looking volatility）；另外一种是根据当前市场的期权价格，用Black-Scholes期权定价模型反推出来，称为 隐含波动率 （implied volatility），它是对资产未来价格波动率的预测，因此也称为 前瞻波动率 （forward looking volatility）。本节中会对它们分别进行详细介绍。

在计算波动率时，通常使用交易的天数，而不是日历天数，这是因为波动率植根于交易，累积的是不同交易日的“交易的不确定性”，当然，也有解释认为波动率的值在交易日要远高于非交易日，因此在波动率的计算中，非交易日可以忽略。在日回报独立同分布，且具有相同方差的假设下， T 天回报的方差为 T 与日回报率的乘积，也就是说， T 天回报的标准差为日回报标准差的 倍。这与大家熟知的“不确定性随时间长度的平方根增长”这一法则是一致的。

使用单日连续回报率，单日波动率可以通过式（1-13）求得。

其中， N 为样本数据个数，比如一年单日数据一般取工作日天数 N =250或252； r 为对数回报率，这里是单日对数回报率； μ 为对数回报率的平均值。

回报率的方差，也就是波动率的平方，可以通过式（1-14）求得。

公式中的每个回报值减去所有回报值的均值得到的数据叫作 去均值数据 （demeaned data），也叫作 均值中心化数据 （mean-centered data）。均值 μ 则可以通过式（1-15）求得。

一般情况下，这个平均值近似为0，往往可以忽略。另外，当 N 足够大时， N –1可以被 N 替换。因此，方差的公式可以简化为：

因此，单日波动率的计算可以简化为：

下面的代码，从Fred数据库获取了标普指数一年的价格数据，计算了每天的对数回报率，并根据前面介绍的公式，计算得到年化回报率。

代码运行的结果如图1-10所示，年化回报率为35.2%。另外，从图中可以看到，通过分析回报率的具体分布情况，可以对投资情况进行考量和评估。