下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
数学的起源是数字，那么数字仅仅是用来比较事物大小的吗？随着对数学认识与理解的不断加深，人们发现数字和计数法在社会的发展历程中扮演着重要的角色。
几乎每个人的数学第一课都是从学习数字开始的，而学习的方式往往是数数。数数时，一般从数字 1 开始，它代表单个事物，是一个非常特别的数字。它所代表的单个事物既可以是一个人、一个星球，也可以是一个星系。这些事物的大小可能相差悬殊，但我们实际上只是在数其中的一个。其他所有的整数都由数字 1 的集合构成：2 是两个1，3是三个1，以此类推。
自然能力
通过不断地加 1，数字将变得越来越大，这是显而易见的。实际上，数数如此简单，简单到连动物可能也会，至少很多动物能数到不是很大的数。当然，这里所谓的数数，不是指简单地区分多少。很多动物都具备简单区分多少的能力，例如，鱼总会选择加入数量最多的鱼群。然而，数数是基于各种动物在其记忆中如何为固定数目的事物留出空间的。例如，蜜蜂在觅食时可以记住多达 4 个地标。当地标数超过 4 时，它们要么选择忽略新出现的地标，要么选择忘记先前记住的某个地标。因此，觅食中的蜜蜂可以从 1 数到 4，其他包括狮子和鸡在内的多种动物也能按照类似的方式数数。
探索数学的第一步就是学着数最小的数字，这样有助于奠定数学基础。
虽然人们对现代科学中的计数法习以为常，但实际上计数法的发展历程长达几个世纪。
动物的数数能力也可以进一步培养发展，例如，在试验中，经过训练的猴子几乎可以数得跟人类一样好。
学习计数
人类进行简单计数的方式与其他动物无异。我们无须主动地把数字读出来或思考就可以进行计数。人类的大脑能够瞬间识别出2个、3个或4个事物。如果数字大于4，那么大脑就会做较小数字的加法，如数字 5是由 2 和 3 相加构成的。当数字大于 7 时，大脑将无法进行“本能”的数学计算，此时大脑中的数字将不再那么精确。这时我们看到的事物将有“好几个”，而不是一个精确的数。
在古代，特别是随着农业等产业的技术发展，人们发现，有必要像对小数字一样对大数字进行精确的计数。
究竟是人类发明了数字，还是数字早已存在，只是人类后来发现了它们？对于像数学这样严谨的学科而言，这一问题实在太过模糊，哲学意味太浓了，但这个问题的答案影响着数学家对于数学这个学科的理解与感觉。如果你认为数字是人类发明的，那么数学就仅仅是解决实际问题的工具；如果你认为数字早已存在，那么数学就是探索整个宇宙奥秘的途径，因为在宇宙中，数字朝各个方向无限传播。许多数学家认为，他们来到世上的目的就是探求宇宙万物的有趣模式与关系，正如曾经的探险家探索地球各处的陆地一样。
蜜蜂是已知可以数数的动物之一。在觅食时，蜜蜂可以记住至多4个地标。
数数小数字
我们可以用下面这么一个简单的测试来验证人类对于小数字“天生”的数数能力。这个测试需要两个人共同完成。其中一位手中有 6 件小物品，石头、纽扣都是不错的选择。开始前，先不要让另一位看到这些小物品。首先尝试像 2 或 3 这样的小数字，把相应数目的物品给另一位看。这时他必须把看到的物品数目说出来。多试几次，保证至少把数字 1到 6 都尝试一遍。他面对较大的数字时，是否反应时间更长？问问他究竟是怎么得到答案的——他在什么时候必须把小的数字相加，而又在什么时候能立刻知道数字是多少？
例如，主人想确认一天早晚两个时间点牲畜的数目是否相同。对于史前人类究竟是如何发展出大数字的计数方式的，目前并无定论，但基于如今我们所了解的知识，有几种理论是站得住脚的。
一种就是利用双手的手指。我们一共有 10 根手指，当代的计数法使用十进制绝非偶然。如果人类有 8 根或 12 根手指，那么计数法可能就会有所不同。利用手指进行计数的问题在于，10就是计数的上限。
另一种可能是利用石头堆。早晨牲畜外出觅食时，主人用一块石头代表一只牲畜，然后将石头堆成一堆。当夜晚牲畜回来时，主人看到一只牲畜回来就从石头堆中拿走一块石头，最后石头堆中剩下石头的数目就是那些走丢的、该去寻找的牲畜的数目。
古代的农民需要一种统计畜群中牲畜精确数目的方法，这是为了检查经过一天的放牧是否有牲畜走丢。
计数的一种好方法就是把大数字分成 5 个一组，因为这样很容易求和。
在利用石头堆的计数法中，石头就是现实世界中使用的计数记号。如果主人手头有一根木头或骨头可供他刻线（当然有纸、笔就再好不过了），那么他就可以为每一只牲畜在木头或骨头上刻一根水平或竖直的线，用来表示牲畜的数目。这种刻线就是以文字写成的数字的原始形态。
计数标记见于数千年前的骨头或贝壳上。刻有计数标记的最古老的一件物品当属伊尚戈骨，这是一段狒狒的腿骨，表面刻有代表数字的记号。伊尚戈骨在距今 20000 年前的中非地区制作而成。它首次被发现于如今的刚果民主共和国境内，人们认为它的用途是进行某种记录，其上刻着的数字记号代表财产的数目或其他重要事物的数目。然而，这些数字记号的排列方式不禁让数学家猜测，伊尚戈骨实际上可能是某种计算器或乘法表，主要用于十二进制的计数法。
在医学中，手指和脚趾这两个术语的英文单词来源于拉丁文单词digitus，它的原意就是手指或脚趾。英文单词“digit”（数位）是“number”（数字）的同义词，它指大数字中的某个数字符号。例如，“2”是数字“123”的一个数位，而“123”是一个三位数。如今，“数字科技”或“数字通信”中的“数字”的英文就是“digital”。这说明这些技术的基础是数字，这些技术常用于表示对电脑或集成电路进行编码和控制的复杂数字代码。
当今形形色色的科学技术中常常以数字作为一行行的代码。
为中世纪欧洲的计数棒，用于记录数目及一些笔记等信息。
当数字记号超过 5 时，这种计数法将不再那么容易被使用，因为人们很难一眼认出记号的准确数目。此时，人们使用其他特殊的记号来代表更大的数字，例如 3个、5 个或 10 个。将 3 组代表 10 个的记号相加显然比从 1 数到 30 要简单得多。世界上的许多数字记号就是按照这种方式不断演化的，例如古印度、古埃及或中国古代所使用的数字记号即是如此，数字记号经过不断演化最终形成了如今我们所使用的样式。
古巴比伦数字
目前已知最早的书写数字来源于美索不达米亚平原（当今的叙利亚和伊拉克地区）。美索不达米亚平原上的人们最早将数字记号刻在石头、骨头或木头上，作为某些数字的永久记录。当然，数字总是不断变化的。为此，后来的美索不达米亚人不再使用数字记号，而使用用黏土手工塑造并在窑中加热硬化而成的小型陶瓷球来记录数字。一个小陶瓷球代表一个事物，如一只羊；两个小陶瓷球代表两只羊，以此类推。当数到五只羊时，就用一个大球来表示。这些可以追溯到 7000 年前的记号据说是人类首个数据存储系统。在大约 5500 年前，这种计数法被楔形文字和数字所取代，后者是这一时期的美索不达米亚人所使用的书写体系。当时的人们利用芦苇等植物的茎部在湿黏土中所制成的表格上记下楔形文字和数字。起初，楔形数字形似摁在黏土上的圆形记号。随后，写字用的芦苇变成了楔子的形状，更利于书写复杂的记号。
在数学中，小石头或黏土块的使用历史源远流长。早期的人们可能会在地上或计数表（如同原始的算盘）上通过放入或拿走小石头的方式来进行简单的求和运算。石头的拉丁文单词是calx，而鹅卵石或小石头的拉丁文单词是calculi。这也是为什么利用石头进行求和的行为会被称为“计算”（calculating）的原因。当然，如今我们进行计算时早已不需要石头的帮助了。
大约 3000 年前，当时的美索不达米亚平原被古巴比伦王朝所统治，而楔形数字也最终演变成了楔形记号。每个楔形记号都是用楔子挖一下的结果。这些楔形记号一排排地排列，每一排最多可表示数字9。
数字 10 用由楔子挖两下得到的另一种记号来表示。数字 11 由一个数字 10 的记号旁加一个数字 1 的记号来表示，数字 22 由两个数字 10 的记号旁加两个数字 1 的记号来表示，以此类推，直至数字 59。古巴比伦人用 10 和 60 为基底来计数，这背后的原因待后续介绍。数字 60 仍用数字 1 的记号来表示，只是其位置移至左侧。因此，数字61由两个数字1的记号表示，只是两个记号之间以空白隔开。
位值
数字记号构成了一个加法计数法。顾名思义，此时数字的大小由其中所有数值相加得到。因此，记号Ⅲ代表数字 1 + 1 +1=3 。罗马计数法就是典型的加法计数法。这种计数法有一个明显的优点，那就是求和轻而易举，所有数字根据大小排列后即是求和的结果。例如，M（代表数字1000）+ X（代表数字 10）+ V（代表数字5）= MXV（代表数字 1015）。但是，加法计数法在两个方面有着明显的劣势。
位于秘鲁的印加人不会书写数字，他们采用奇普来记录数字。奇普指一套细绳，有时多达几百根。每根细绳在特定的位置打结，用来表示一个数字。个位用细绳底部的绳结表示，而绳结中圆圈的数目代表个位数为几。再往上是代表十位的绳结，然后是代表百位的绳结，上限为代表万位的绳结。如果所记录的数字中没有个位或者某一位值为 0，那么绳子上相应位置处就不再打结。若要计算多根细绳所表示的数字之和，可以将细绳上的所有绳结相加后移至另一根新绳上。
不同颜色的结绳（奇普）是秘鲁印加人记录和传递数字信息的方式。
古巴比伦人用特制的木楔在软黏土上刻出楔形记号，以此来记录数字和数学记号。
首先，数字的长度快速增长，很快就会令人难以辨识；其次，乘除法异常复杂，几乎不可能实现。
古巴比伦的计数法采用了不同的计数方式。每个数字都有对应的位值，如 1、10、60 等。因此，古巴比伦以位值系统进行计数，其中某个数字的值由其在整个数字中的位置确定。现代的计数法也如此，例如，111代表100 + 10 + 1 = 111。
商人与数字
大约 4000 年前，此时距古巴比伦计数法创立不久，中国也发展出了类似的位值计数法。不过，中国的这套计数法是十进制的，而非六十进制的。
中国计数法使用竹签计数，由中国商人于大约4000年前创立。
古罗马人用字母表中的字母来记录数字，例如I指 1、V指 5、X指 10、L指 50、C指 100、M指 1000。数字的最终取值通过将这些符号的取值相加所得。例如，XVI指10 + 5 + 1 = 16。这其中还有些特例：当某个数值比其右侧数值小时，数字最终取值需要用右侧数值减去左侧数值得到。因此，IV代表5-1=4，而XCV指(100 -10)+ 5 = 95。
古罗马计数法中的数字 1 到数字 12（10 +1+1）。在计算加法时，罗马数字易于理解，但在计算乘除法时，罗马数字就有点力不从心了。
商人在旅行时携带着一套竹签，需使用时就将竹签摆在地上，其使用位值的方法与现在的如出一辙。数字中先是个位数，然后是十位数、百位数、千位数，以此类推。
与古巴比伦计数法类似，中国的竹签计数法也有一个重大缺陷。例如数字 21 以符号 2、间隔、符号 1 的方式表示。此处的间隔必须十分显眼，否则人们就有可能将该数字错认为 3。那么，这种竹签计数法如何表示数字201呢？
古老的数字记号在当今盛行的麻将牌棍中仍可觅得踪迹。
在中国的计数法中，10 是一个单独的符号，并非由数字1和0构成。
唯一的方法只能是加大符号 2 和符号 1中间的间隔，以此说明十位没有数字。那2001 又当如何表示呢？又该如何区分 2001和 201 呢？可以说，此时将这些大数字认错的可能性非常大，而这无疑会导致误算及人们之间的争执，这在买卖中尤为明显。
“没有”怎么表示
古罗马、古埃及、古巴比伦和中国的计数法都缺乏表示“没有”的记号。古代数学主要考虑如何对现实存在的事物进行计数，从定义上来看，“没有”代表不存在，因此也没有必要对其进行计数。然而，在一个大数字中，表示某个重要位置的数值为0显然是有重要的创新意义的。古巴比伦人通过在大数字中添加点来表示数字中间的间隔，因此 21、2·1 和 2··1 显然代表不同的数字。其他文明的人也意识到，一个易于辨别的占位符用处颇多，例如玛雅人用贝壳作为占位符。
数字0
前文提到的那些符号本身并非数字，只是令大数字易于辨识的占位符。代表“没有”的数字起源于公元 600 年前后的古印度。起初，数字 0 仍用点来表示，但随着时间的推移其记号逐渐演变为圆圈。据说 0 的英文单词zero来源于古印度语的单词“沙漠”，因为 0 与沙漠均空无一物。数字 0 的加入使得数字的书写、辨识和计算更为便捷、简单。同等重要的是，将 0 置于1 之前，将数字按顺序写作 0, 1, 2, 3, …，也开启了算术运算的新篇章。
含有数字 0 的古印度计数法后来传入中东，逐渐取代了古埃及和古罗马计数法，在阿拉伯商人和数学家中被广泛使用。在随后的几个世纪中，印度-阿拉伯计数法不断发展，成为当今西方世界计数法的基础。到 12 世纪，欧洲人仍在使用罗马数字，并且借助算盘进行加减等运算。后来，比萨的列昂纳多（Leonardo of Pisa，1170—约 1250 年）——一位后来以“斐波那契（Fibonacci）”闻名的年轻数学家，在其发表于 1202 年的著作《计算之书》（Liber Abaci）中将印度-阿拉伯计数法传入欧洲。斐波那契向人们展示出，利用位值计数法可以让商人无须借助算盘即可便捷地计算价格和利润等。16 世纪初，这种新的位值计数法取代了其他计数法。
为斐波那契《计算之书》中的一页。书页右侧的一列就是如今为人们所熟知的“斐波那契数列”，它在描述自然界的特定形状时扮演着重要的角色。
位数： 一个自然数数位的个数。含有一个数位的数为一位数。
数字： 数量或数值。
数码： 用于表示一个数字的一个记号或一组记号。
位值： 利用位数在一行数码中的位置来表示数字的大小。
记号： 利用做标记的方式来记录每件物品的计数手段。