3.2 套利定价和多因子模型

在这一节我们论述讨论使用渐近线无套利论据来像CAPM那样得到贝塔定价关系。这种方法可以直接扩展而得到多风险因子模型。

3.2.1 单因子模型的套利定价

假设我们运行如下回归：

（3.22）

其中， R ^e _it 表示资产 i 对无风险利率的超额收益。这个关系被称为市场模型。这是一个单因子模型的主导例子。

假设等式中的误差在不同股票间不相关：

（3.23）

因为 i≠j ，此时任意股票的剩余风险是特异的，与任意其他股票的剩余风险不相关。

这些假设表明在均值-方差分析中协方差是容易估算的，因为：

（3.24）

不同于非限制性方差-协方差矩阵中 N （ N +1）/2个参数，这里只需要估计 N +1个参数（ N 个贝塔加市场收益率方差）。

这些假设中的一个更加显著的含义是如果有许多资产可选，我们应该预期 α _i 的绝对值非常小。这是罗斯（Ross，1976）的套利定价理论。

为了更好地理解，思考组成一个 N 项资产 i 的组合。组合的超额收益率为：

（3.25）

其中， 。

∈ _pt 的方差是：

（3.26）

在没有单个权重 w _j 很大的情况下，方差随着 N 的增加而急剧缩小。在组合权重相等（ w _j =1/ N ）的标准情况下，并且所有股票具有相同的特质差异 ，我们得到：

（3.27）

现在假设组合具有足够多的股票，每个股票的权重都足够小，剩余风险Var（ ∈ _pt ）可忽略。我们说这个组合具有很好的分散性。对于这样的组合，我们可以忽略 ∈ _pt ，并把超额收益率写为：

（3.28）

但此时我们一定有 α _p =0。如果不是这样的话，就会有套利机会：做空 β _pm 个市场组合，做多一个组合 p ，同时以无风险利率融资。这样就得到了一个无风险超额收益 α _p 。

罗斯（1976）开拓了这项洞见，表明 α _p =0对所有分散化组合意味着“几乎所有”单项资产都有非常接近于0的 α _i 。直观地讲，少量的资产可能被错误定价（有非零的 α _i ），但是如果太多的资产被错误定价，那么可以把它们归到一组分散化的组合并创造一个套利机会。从技术性角度讲，结果就是如果单项资产的特质方差被限制，那么：

（3.29）

为得到这个结果，思考通过将 美元投资于每项资产 i =1… N ，组成一个阿尔法权重组合。组合的报酬是：

（3.30）

现在思考随着资产数量的增加，这个报酬会如何变化。我们再做两个假设。第一个假设是：

（3.31）

换句话说，随着资产数量增加，阿尔法权重组合接近一个多空仓位相等的套利组合，这个组合的初始投资为0。第二个假设是：

（3.32）

换句话说，随着资产数量的增加，阿尔法权重组合有相对市场的零贝塔。接下来我们就会对这些额外的假设进行解释。

在这些假设下，阿尔法权重组合的极限收益只包含两组成分：

（3.33）

第一个表达式是期望收益，第二个是特异风险驱动的收益成分。收益的方差是：

（3.34）

如果特异方差 σ ² _i 被如上限制，此时收益的方差随着 N →∞缩小到0，组合的成本金额同样接近于0。为了避免渐进套利机会（在一个大截面上以零成本实现确定的正收益的渐进型投资策略），期望收益必须接近于0，这意味着它的平方必须接近于0。这是想要得到的结果［式（3.29）］。

我们如何用这两组额外的假设［式（3.31）和式（3.32）］来证明这个结果？式（3.31）来自同等权重组合的平行分析，这个组合投资到每一项资产的等值金额为：

式（3.32）来自贝塔权重组合的平行分析，这个组合投资到每项资产的金额为：

每个组合都有一个非零的市场贝塔，但是每个组合的超额收益特异成分方差随着 N →∞缩小为0，因此每个组合在极限范围内变得分散，并且有极限为0的阿尔法，这如我们在式（3.28）中讨论的那样，意味着式（3.31）和式（3.32）在大截面极限是成立的。

直观地讲，如果所有大截面的资产都有正的阿尔法和非相关剩余风险，那么就可以通过持有一个这些资产的同等权重组合并通过一个合适的做空仓位来对冲市场风险暴露，赚取无风险收益。如果截面上的所有资产有负的阿尔法和不相关剩余风险，反向操作也可以获取无风险收益。如果在有着不相关剩余风险的大截面资产的阿尔法和贝塔间有一个系统性关系，比如负相关关系，那么就可以通过买进低贝塔资产，卖出高贝塔资产，并对冲剩余市场风险暴露来获得无风险收益。

在这一节我们在没有用到任何均值-方差分析的情况下得出了夏普-林特纳CAPM的贝塔定价公式。关键的假设是市场模型的剩余风险在股票之间是非相关的。这种方法的优点是模型中的“市场”可以是任意分散的组合，这些组合产生不相关的剩余风险。我们不需要像CAPM要求的那样去担心如何衡量所有财富的真实市场组合。然而，结果的准确性要比CAPM弱，因为我们仅有一个非零阿尔法很少见的限制性结果，并非很精确的所有阿尔法都是零。习题3.3要求在一个具体的均衡例子中得出一个阿尔法的明确公式。

概括以上单因子模型分析来消除投资人可以以无风险利率借入和借出的假设是非常明确的。就像布莱克（1972）的CAPM版本，单因子套利定价理论可以容许一个衡量借贷的影子成本并超过国债利率的零贝塔利率。

目前分析的主要难点是市场模型的非相关剩余风险假设与事实不符。除了市场收益率影响，还有许多其他股票收益变量的来源。有一些来源是宏观经济方面的。例如，周期性股票对工业生产的变化尤其敏感，使用高杠杆的公司对利率变化很敏感。更广泛的讲，从事相同业务的公司，比如相同产业的公司或者相同市值的公司，趋向于同时移动。由于这些原因，没有一个单因子模型可以充分拟合股票收益率截面并带来不相关的剩余收益。

3.2.2 多因子模型

为了解决这个问题，我们可以把之前的分析概括到多因子模型中。如果有 K 个“因子组合”抓住了 K 个风险来源的影响，并且如果能够以无风险利率 R _f 借入和借出，那么我们有：

（3.35）

我们假设股票之间的剩余收益是不相关的。模型的预测仍是式（3.29），这可以被非正式地描述为对几乎所有的股票 α _i 0。如果 K << N ，这是被限制的。

在没有无风险借贷的情况下，对 K 因子模型我们可以把式（3.35）中的 R _f 替换为零贝塔利率，现在定义为与所有因子组合不相关的组合的期望收益率。模型再一次说明了式（3.29）。

或者，如果我们没有因子组合而直接衡量因子为均值-零震动（例如，宏观变量的创新），那么我们有：

（3.36）

模型的预测是式（3.29）适用于阿尔法定义：

（3.37）

其中， λ ₀ 是零贝塔利率（如果投资人可以自由借入和借出，等于无风险利率 R _f ），并且 λ _k 是第 k 个因子的风险价格。 ^[2] 用字母 λ 来代表风险价格是文献中的标准表达，注意与第2章代表拉格朗日乘数的字母相区分。

这一节的分析对组合选择具有重要作用。第一，考虑有 K 个交易因子组合的情况，在这个 K 因子模型中， α _i =0对于所有的 i 成立。此时整个均值-方差-有效前沿可以用这个 K 因子和零贝塔组合（无风险资产）构建，因此均值-方差投资人应该总是持有某种组合的搭配。均值-方差分析的维度被大大地降低了。

第二，如果这些因子像式（3.36）那样被衡量，那么我们可以构建“因子模拟组合”，这个组合对于给定的因子具有最高的相关性，我们还可以仅仅使用因子模拟组合和零贝塔组合构建均值-方差-有效前沿。

第三，任意预测收益率的股票层面属性必须与某种共同风险因子相关联，如果不这样的话，拥有这种属性的股票组合便会有一个高平均收益率但是没有共同变异性，意味着渐进套利机会。这意味着一个使用均值-方差优化的主动投资经理应该总是以允许风险模型估计与投资经理认为的能够预测收益率的股票属性相关的共同变量的方式，建模收益率方差-协方差矩阵［（MacKinlay（1995），Campbell、Lo和MacKinlay（1997）］。

套利定价理论的大部分内容是吸引人的，但是也有几个缺点。其一，正如前文讨论的，模型预测非零阿尔法在大截面极限内是非常罕见的，并且这个预测在有限的资产收益率截面会被如何篡改是不清楚的。其二，根据历史数据，我们知道一些组合总是均值-方差有效的。因此我们知道依据历史数据，总能得到一个单因子模型来匹配数据，如果我们恰好选择了历史均值-方差有效组合作为单因子。此时必然会更加容易得到 K 因子模型来匹配数据。这并没有告诉我们任何事情，除非我们能对 K 因子模型预测经济趋势和匹配经济历史数据有一些信心。换句话说，我们需要理论上的解释来相信 K 因子模型是结构性的。

第四，套利定价理论并不能决定风险价格的正负或量级。共同因子是成为帮助决定平均资产收益率截面的定价因子的必要非充分条件。近年来大量对于均衡资产定价的研究致力于从理论出发，更精确地限定风险价格。

3.2.3 作为多因子模型的条件CAPM

得到无条件多因子模型的一个重要路径来自CAPM的条件版本［Hansen和Richard（1987）］。假设CAPM有条件地成立。对于资产 i ，条件期望超额收益率由下式给出：

（3.38）

使用无条件期望，并使用乘积的均值是均值加协方差的乘积这一事实：

（3.39）

其中， 是资产的无条件贝塔。式（3.39）中的第二个等式加和减无条件贝塔乘以无条件权益溢价，即无条件CAPM对于资产无条件期望超额收益率的预测。等式右边的第二个表达式和第三个表达式表示条件CAPM与影响非条件平均资产收益率的非条件CAPM的偏差。

如果资产条件贝塔均值的时间序列比无条件贝塔高，那么第二个表达式是正值。如果市场收益率有连续方差，那么这个表达式等于0，但是如果市场收益率是异方差，那么这个表达式不等于0。Lewellen和Nagel（2006）以及Boguth等人（2011）证明（ Eβ _imt - β _im ）可以约等于条件贝塔和条件市场波动之间协方差的负数，除以无条件市场波动率。

（3.40）

直观地讲，无条件贝塔是一个时间序列回归系数，它给已大量实现的市场收益区间以高权重，无论收益为正或负。如果一项资产在市场波动率低的时候趋向于存在一个高的条件贝塔，它的条件贝塔时间序列均值将会比无条件贝塔更高。这样一项资产将会有一个比无条件CAPM预测更高的无条件平均收益率。Boguth等人（2011）将之称为“波动率择时”效应。

如果资产的贝塔与权益溢价同向变动，那么第三个表达式是正值。资产可以有比无条件CAPM预测更高的无条件平均收益率，如果市场风险溢价高，它的贝塔也趋向于高。直观地讲，当市场风险被很好地回馈时，这样一项资产会带来市场风险暴露，这增加了它的无条件平均收益率。这或许可以被称为“权益溢价择时”效应。

测试一个条件模型的一个简单的方式就是用参数表示随时间变化的贝塔变量。例如，我们可以写：

（3.41）

其中， Z _t 是状态变量。条件模型可以写为：

（3.42）

现在我们可以使用无条件预期来得到：

（3.43）

这是一个多因子模型，其中的因子是超额市场收益率，超额市场收益率由状态变量 Z _t 衡量。这个被衡量的市场超额收益率可以被理解为主动投资策略收益率，主动投资策略当 Z _t 高的时候投资更加激进。多因子模型，主动投资策略作为第二个因子，包含了以上提到的波动性择时效应和权益溢价择时效应。 ZxUKcaPoMW2ocjdNtQeDfpuLFIY19uFmtmUGVFn7+aSDaRIkMOI4b5nTiaPM2Tab