2.2 风险资产组合

我们现在运用马科维茨经典的均值-方差分析思考包含多项风险资产的情况，均值-方差分析通过收益率最初两个矩来判断资产组合。尽管更高矩对投资人也很重要，均值-方差分析能更直观地展现风险资产组合构成，尤其是分散投资的重要性。

在静态双区间模型中，如果投资人有二次效用或收益率分布的最初两个矩有足够的统计数据，均值-方差都可以被证明是合理的。二次效用的优点是不需要收益率分布假设，缺点是它意味着增加绝对风险厌恶（见第1.3节）。允许使用均值-方差分析的收益率分布包含正态分布、多变量 t 分布，或对数分布（使用第2.1.4节讲到的短期近似，因此组合收益率和单项资产收益率都是对数分布）。增加一项任意分布的一般风险在所有资产收益上也是有可能的，既然这项一般风险不影响组合选择。

正如第2.1节所讨论的，我们可以把收益率分布假设和投资人偏好假设（结合CARA偏好正态分布或CRRA偏好对数分布）结合起来得到易用的封闭形式组合规则。但是给定收益率假设，这些偏好假设并不需要证明均值-方差分析。

我们应该假设做空是被允许的。做空限制带来更多的限制，因此毁掉了基础均值-方差分析的简洁性。我们先来思考一下包含两项风险资产的问题，然后讨论一项资产是无风险资产的特殊情形，然后推广到 N 项风险资产，最后思考一项无风险资产和 N 项风险资产的问题。

2.2.1 两项风险资产

两项风险资产，你会得到怎样的均值-方差（或者标准差）组合？包含两项风险资产收益率分别为 R ₁ 和 R ₂ 的组合收益率为：

（2.29）

既然组合权重必须加总得1，均值收益率在组合权重中也是线性的：

（2.30）

但是收益率的方差是二次方程式：

（2.31）

w ₁ （或等同的 _p ）和 σ ² _p 之间的二次关系表明均值和方差的图示是一条抛物线；均值和标准差的图示是双曲线。

既然 σ ₁₂ = σ ₁ σ ₂ ρ ₁₂ ≤ σ ₁ σ ₂ ，其中， ρ ₁₂ 是 R ₁ 和 R ₂ 的相关系数：

（2.32）

或者说 σ _p ≤ w ₁ σ ₁ +（1- w ₁ ） σ ₂ ，其中，0≤ w ₁ ≤1。这表明了分散投资降低组合风险的力量。图2.1描绘了因变量组合标准差和自变量权重 w ₁ 在一组可能的相关系数 ρ ₁₂ 内的变化关系。

我们可以根据资产1在组合中的比重来计算方差的导数：

（2.33）

这个导数随 w ₁ 增加而增加，表示增加一项资产组合的权重，相应的风险也会增加。

我们可以通过把导数式（2.33）设定为0找到全局最小方差组合。组合权重为：

（2.34）

这些权重在特殊情况下可以被很好地简化。当两种资产完全不相关， ρ ₁₂ =0，此时全局最小方差的权重便是另一项资产方差和总方差的比例：

（2.35）

当两项资产有相同的方差， σ ² ₁ = σ ² ₂ ，此时每项资产的全局最小方差是相等的1/2，无论它们的协方差是多少。在这种情况下，资产的协方差仅仅影响全局最小方差组合的方差，并不影响两项资产的权重。

2.2.2 一项风险资产和一项无风险资产

如果一项资产是无风险资产，以上结果可以被简化。假设 σ ² ₂ =0， R ₂ = R _f ， R _f 代表无风险收益率，我们可以重新改写均值组合收益率式（2.30）为 _p - R _f = w ₁ （ ₁ - R _f ），并重新改写组合收益率方差式（2.31）为 σ ² _p = w ² ₁ σ ² ₁ ，表明 w ₁ = σ _p / σ ₁ 。结合这两个表达式：

（2.36）

这在均值-方差图形中定义了一条直线，我们称之为资本配置线（CAL）。斜率：

（2.37）

被称为夏普比率或风险资产的风险报酬率。任意一个风险资产和无风险资产的组合都像风险资产本身一样具有相同的夏普比率。

我们在第2.1节得出的追求短期利益的组合选择标准规则，现在运用几组可替代假设和近似可以得到：

（2.38）

其中， γ 是相对风险厌恶（不必是一种连续独立的财富）的协方差。风险资产的最优份额是风险溢价除以相对风险厌恶乘以方差，或者说风险资产的夏普比率除以相对风险厌恶乘以标准差。

既然 w ₁ = σ _p / σ ₁ ，我们可以重新改写公式为：

（2.39）

组合的最优风险是夏普比率除以相对风险厌恶的协方差。

通篇讨论的第二项资产是无风险资产的假设，当然是一种武断的标准化。一项风险资产可以由两项完全正相关或负相关的风险资产构成，这可以设置 σ ₁₂ = σ ₁ σ ₂ 或者 σ ₁₂ =- σ ₁ σ ₂ 来验证，并用式（2.34）给定的权重解决全局最小方差组合。这个事实用图2.1证明。

2.2.3 N 项风险资产

当只有两项风险资产的时候，组合的均值收益率限定了一组唯一的组合权重。然而当有 N 项风险资产的时候就不同了。现在我们可以思考在给定均值收益率的情况下寻找最小方差组合的问题。这些最小方差组合落在最小方差前沿线上。

解决这个问题需要向量标记和矩阵运算。我们假设没有无风险资产。定义 为风险资产均值收益率向量， ∑ 为方差-协方差收益率矩阵， ω 为组合权重向量， τ 为1的向量。我们可以把这个问题表达为：

（2.40）

目标函数中的相关系数1/2看上去仅仅作为标志便利性，并不改变解的形式。

我们设置拉格朗日函数：

（2.41）

其中， λ ₁ 和 λ ₂ 为两个限定量的拉格朗日乘数。一阶导数为：

（2.42）

式（2.42）左乘∑ ^-1 ，我们得到：

（2.43）

问题来了，我们怎么知道∑是可逆矩阵，使得∑ ^-1 存在呢？你会在本章的末尾找到问题的答案。

拉格朗日乘数 λ ₁ 和 λ ₂ 可以用这两个限量得到：

（2.44）

（2.45）

其中， 。注意 A 和 C 是在数学上保证其为正值。虽然 B 不是，但是，正如第2.2.4节所解释的，从经济学角度讲，我们通常预期它为正值。

解等式，我们得到：

（2.46）

其中， D ≡ AC - B ² 。

最小组合方差是：

（2.47）

因此 dσ ² _p /d _p =2 λ ₁ ，或相当于 d （（1/2）σ ² p）/d _p =2 λ ₁ 。 λ ₁ 衡量了投资人目标更高的均值收益率成本。这个成本随 _p 的增加而增加，因此收益率目标的增加对组合风险具有递增的边际影响。

2.2.4 全局最小方差组合

接下来我们解决全局最小方差问题。第一个限量（均值上的）被从问题中除去。这相当于设置 λ ₁ =0。用一个下标 G 来标注这个组合，我们得到：

（2.48）

剩余的限量，组合权重相加等于1，意味着：

（2.49）

因此 λ ₂ ＝1/（l′∑ ^-1 _l ）=1/ C ，并且：

（2.50）

在2×2矩阵的情况下：

（2.51）

（2.52）

我们可以用标准公式表达2×2的可逆矩阵：

（2.53）

以此来表明全局最小方差组合权重跟式（2.34）是相同的。

全局最小方差组合均值收益率为：

（2.54）

我们要求全局最小方差组合的均值收益率为正值，因此要求 B 是正值，但这是基于经济合理性参数的要求，而并非数学事实。

在通用模型中给定任意的均值收益率限定，我们可以验证当 _p >B/C时——即必要组合预期收益率超过全局最小方差组合必要收益率——均值限量的拉格朗日乘数是正值： λ ₁ >0。符合这个条件的最小方差组合集被称为均值-方差有效集。当 _p < B / C ，此时拉格朗日乘数 λ ₁ <0，意味着高的均值收益率与低的方差并不矛盾。没有喜欢均值收益而不喜欢方差的参与者会持有这样的组合：给定均值收益的最小方差而不是给定方差的最大均值收益的组合。图2.2揭示了均值-方差有效集是一条实线，而属于最小方差组合集但不是均值-方差有效集的是一条虚线。习题2.3要求对均值-方差有效集的几何图形做更深入的分析。

全局最小方差组合收益率的方差为：

（2.55）

在所有资产为对称情形时这个问题就被简化了，对称情形即所有资产具有相同的方差和相同的相关系数 ρ 。此时全局最小方差组合具有相同的权重， w _G = τ / N ，并且：

（2.56）

为了理解这个公式，首先注意对称分布情形，全局最小方差组合的方差正好是矩阵所有元素相等权重的加权平均值。这个矩阵有 N ² 个元素，对角线上是 σ ² ，非对角线是 ρσ ² 。把对角线项写为 σ ² =ρσ ² +（1- ρ ） σ ² ，有 N ² 个 ρσ ² 其均值为 ρσ ² ，有 N 个（1- ρ ） σ ² 其均值为（1- ρ ） σ ² / N 。

相等权重的组合方差不能为负，这限制了 ρ 的可取值。对只有两项资产而言， ρ 可以在-1到1之间取值，但随着资产数量的增加， ρ 取负值越来越受限，直到无限数量的资产， ρ 本身必须不为负。直观地讲，随着资产数量的增加，将越来越难找到互为负相关的资产。这是方差-协方差矩阵通用准则必须总是正半定的例子。

当 ρ 为正值时，我们可以认为 ρσ ² 是任意组合必须具有的不可分散风险，而（1- ρ ） σ ² / N 是与股票数量成反比的可分散风险，并随着N的无限增大而消失。在市场上持有任意大量的股票， ρσ ² 是市场指数的方差。

根据Campbell等人（CLMX，2001），图2.3描述了一个受这个分解式启发的实验分析。通过计算滚动5年窗口期，以及每5年随机选择500只具有连续交易数据的股票，这个图形数据报告了任意两只股票间的横截面月平均相关性。这是CLMX过程的简化版，经过更新，包含了其样本里所没有的1997年到2012年的数据。

图2.3展示了20世纪70年代后期到90年代中期平均横截面相关性的剧烈递减，随后有一些反转，直到图中最后5年又急剧上升。CLMX观察到了递减，但是没有观察到最近的上升。市场收益率的波动没有显示相同低频率的相关性变化，这是可能的，因为 ρ 和 σ ² 的变化可以互相抵消来维持 ρσ ² 的乘积，这个高度分散组合的波动率，大体上是一致的（或者跟随一种不同的高频率方式变动）。

不完全分散的组合包含非系统性风险，超出市场指数不可分散风险的（1- ρ ） σ ² / N 。对任意 N ，减小 ρ 和增加 σ ² 都会增加这种超额风险。同样地，必须通过增加股票数量 N 来把这种超额风险保持在一定水平。当 ρ 增加而 σ ² 减小时，相反的情形就会发生，正如近几年发生的。CLMX通过把 N 个股票组合的平均超额标准差绘制在相同权重指数之上来点明这一点。我们随机选择 N 个股票组合来计算，但是在对称例子中是这样的：

图2.4展示了这个算式的更新，样本区间为1960—1975年、1976—1985年、1986—1995年、1996—2005年、2006—2012年。最下面的曲线是最早15年的样本区间。最上面的两条曲线是1986—1995年和1996—2005年这两个样本区间。2006—2012年曲线在这两条曲线下面，但在1979—1985年曲线上面。因此最近的发展降低了分散化曲线，但是没有降到20世纪70年代晚期到80年代早期的水平，这使得20世纪60年代到70年代初的曲线水平独树一帜。这个图形告诉我们组合构建的传统经验法则，比如25只股票的组合可以足够分散，可能需要根据市场环境的改变而修正。即使是最近的数据，50多只股票才能够达到25只股票在20世纪60年代和70年代早期达到的低非系统性风险水平。

2.2.5 共同基金定律

回到式（2.40）对主要组合选择问题的分析，托宾（1958）的共同基金理论认为所有的最小方差组合可以通过把两个不同比例的最小方差组合混合得到。因此如果所有投资人持有最小方差组合，所有投资人仅持有两种底层组合即“共同基金”。

改写一下式（2.43）的组合权重为：

（2.57）

注意，根据式（2.45）， λ ₁ B + λ ₂ C =1。因此，对任意均值收益率目标 _p ，最优组合是两只共同基金的组合，第二个是全局最小方差组合，并且第一个投资偏重于高均值收益率资产。均值收益率目标决定了这两只基金的权重但不是它们的组成。

式（2.57）因子的精确性在某种程度上是主观的。既然我们知道整个最小方差前沿可以由两只共同基金组成，我们就可以选择前沿上任意两个最小方差组合来代表这两只共同基金的所有其他最小方差组合。然而，我们会很自然地选择全局最小方差组合作为基金之一，另外一只基金的权重必须对单个资产均值收益率敏感。 ^[4] 在金融学术领域中，这是最早的对组合选择问题的降维分析。我们会在下一章展开更多的讨论。

共同基金理论自然遵循均值-方差分析假设，即投资人会在组合的均值收益率和收益率方差两个属性之间权衡。但是这在投资实践中最初被认为是违反直觉的。

2.2.6 一项无风险资产和 N 项风险资产

共同基金理论问题在一项无风险资产和 N 项风险资产同时存在的情况下显得更加尖锐。为处理这种情况，我们把无风险资产写为 R _f ，把式（2.40）重新改写为风险资产权重 ω ，组合以利率 R _f 借出或借入无风险资产。因此我们不再要求 τ ′ ω =1。没有了这个限制，我们可以把问题写为：

（2.58）

跟之前一样，我们建立拉格朗日方程：

（2.59）

得到一阶导数：

（2.60）

因此：

（2.61）

问题中的限制条件告诉我们：

（2.62）

其中， E ≡（ - R _f l ）′∑ ^-1 （ - R _f l ）。因此我们可以解拉格朗日乘数为E的函数：

（2.63）

最小组合方差的大小取决于拉格朗日乘数和E：

（2.64）

如果我们现在把拉格朗日乘数替换掉，我们发现 σ ² _p =（ _p - R _f ） ² / E ，或者：

（2.65）

这在均值收益率和标准差图形中给出了一条V形曲线。曲线的上半部分是纵轴无风险资产到均值-方差有效集的切线，均值-方差有效集是只持有风险资产的情况。上部分曲线也被称为资本配置线。

资本配置线上有一个只包含风险资产的独特组合，这个组合同样也在均值-方差有效集上。这个组合被称为切线组合。资本配置线的斜率√E是切线组合的夏普比率。切线组合在所有的风险资产或风险资产组合中具有最高的夏普比率。图2.5描绘了这个几何图形。

在持有无风险资产的情况下，托宾的共同基金理论因为其中一只基金是无风险资产，并且另外一只基金即切线组合仅包含风险资产而变得简化了。共同基金理论指出所有的投资人，不管他们的风险厌恶程度如何，都应该持有同等份额的风险资产。保守的投资人应该通过持有更多的无风险资产（现金）来稀释他们的风险资产组合，而激进的投资人甚至可以通过借钱来增加收益；但是两组投资人都应该持有风险资产组合，并且任何一组投资人都不应该改变其构成。

这个主张与传统的投资建议相矛盾，Canner、Mankiw和Weil（CMW，1997）强调的一点被称为“资产配置之谜”。摘自CMW的表2.1揭示了这个谜团。

表2.1列示了由四个财务顾问为以下类型投资人推荐的组合配置：“保守型”高风险厌恶投资人，“稳健型”中等风险厌恶投资人，“激进型”低风险厌恶投资人。

分析中包含三种资产：现金、债券和股票。如果我们理解的现金（或等同的货币市场基金和国债）是一种安全的资产，债券和股票是两种可选择的风险资产，那么共同基金理论暗示着债券除以股票的比例在推荐的组合中应该是一个常量，现金除以股票债券之和的比例应该跟风险厌恶成正比。然而表格的最右列显示了债券除以股票的比例跟随风险厌恶而变动：保守的投资人比例最高，激进的投资人比例最低。

CMW挖掘了几种可能的方法来解这个谜团。例如，他们考虑把现金当作一种风险资产的效果，因为短期固定收益类证券承诺安全垫名义收益率，但是实际收益率受短期通货膨胀的影响。他们发现，经过一个短区间，比如一个季度，通货膨胀的影响是可以被忽略的，并且对债券股票比率并不产生重要改变。

另外一个可能性是投资人或许不能通过融资来组建风险资产组合。一旦被融资限制约束，有增加风险意愿的投资人必须改变风险组合的资产构成（可能是股票）。作为一项非正式练习，请评估一下财务顾问这几条推荐的合理性。

最后，财务顾问推荐的组合或许对长期投资人是最优的，但对在本章讨论的双区间短期投资人就不是这样了。长期债券对短期投资人来讲是风险资产，但对长期投资人来讲就几乎是无风险资产了，而现今对短期投资人来讲是安全的，但是对长期投资人来讲必须以某个未来利率滚动，因此可能是有风险的。我们将在第9章讨论资产配置之谜的解决方案。

2.2.7 实践难题

本章最后我们对均值-方差分析的应用提供一条警示。我们已经陈述了最优组合选择公式，以给定的所有资产收益的均值和收益的方差-协方差矩阵为向量。现在这种分析是通过均值-方差优化软件来从数字上找到最优组合的，考虑到附加的限制，比如做空限制或一项资产最大持仓限制。然而，本章的公式和均值-方差优化都依赖对均值收益率和方差-协方差收益率矩阵的估计。这制造了数不清的难题。

均值收益率的估计在短期内是不精确的，但均值收益率在长期并不持续。当分析的资产是单个股票时尤其令人担忧，股票的均衡收益率（由公司的属性，投资人对商业风险的态度等决定）非常有可能跟随时间而变化。有两个标准方法来应对这个问题：一是把资产特征写为收益率的函数——因为公司的特征比公司的名字相对预期收益率更加稳定；二是以同样的指导精神，组成同样属性的股票组合，然后估计这些组合的历史平均收益率而不是单只股票的历史平均收益率。

即使得到了估计的均值收益率，估计方差-协方差矩阵仍是个问题。当有 N 项资产的时候，这个矩阵有 N （ N +1）/2个参数。例如，当有2 000只股票的时候，超过200万方差和协方差需要被估计。如果 N≥T，T 为历史样本中收益率的数量，用历史数据来计算样本方差-协方差矩阵的方法明显就失效了。在这种情况下，样本方差-协方差矩阵总是为奇异矩阵，因为一些 Ν ≥ Τ 的资产组合在每一个 T 历史区间内承载着相同的收益率能够被发现。均值-方差优化程序加上这样一个矩阵将发现一个套利机会（见第4章），即如果由风险资产构成的无风险组合与无风险资产的收益率不同，或者如果由多个风险资产构成的无风险组合具有不同的均值收益率。

方差和协方差随时间而改变有足够的证据，并且一些资产利率只有短期历史，限制了用长期样本估算二阶矩的潜能。另外一种在过去15年里被财务计量学家深入研究的方法，是通过高频率的测量来增加历史观察点的数量。

然而即使有大数 T ，数据经常错误地提示 N 项风险资产的组合几乎是无风险的。这会导致均值-方差优化程序挑出一个样本外表现很差的高杠杆组合。DeMiguel、Garlappi和Uppal（2009）比较了均值-方差最优组合的样本外表现，这些最优组合是用几种不同方法从历史数据中估计的。他们发现在许多情况下，相同权重的组合（简单分散组合）比样本外估计均值-方差最优组合具有更好的表现。令人沮丧的是，即使组合构建方法意在降低历史方差和协方差的可靠性，通过对方差-协方差矩阵施加先验，表现仍然不好。

为解决这些难题，需要大篇幅的文字来解释组合选择问题的简化方法。我们会在下一章深入讨论。 wfzobGqpRNS6jY9XlK4IIkFQEkIyzR6p1B3phdBvfEds9kRiXLIZ8uBIrzgRgHBG