第1节
实数

题型1整除问题

母题精练

1．（条件充分性判断） 是一个整数．

（1） a 是一个整数，且 也是一个整数．

（2） a 是一个整数，且 也是一个整数．

（A）条件（1）充分，但条件（2）不充分．

（B）条件（2）充分，但条件（1）不充分．

（C）条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分．

（D）条件（1）充分，条件（2）也充分．

（E）条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分．

考生注意

2． 是整数．

（1） n 是整数， 是整数．

（2） n 是整数， 是整数．

3．3 a （2 a +1）+ b （1-7 a -3 b ）是10的倍数．

（1） a ， b 都是整数，3 a + b 是5的倍数．

（2） a ， b 都是整数，2 a -3 b +1为偶数．

4．三个数的和为252，这三个数分别能被6、7、8整除，而且商相同，则最大的数与最小的数相差（ ）．

（A）18

（B）20

（C）22

（D）24

（E）26

5．能确定 是整数．

（1） m = -2， m + 的整数部分是 n ．

（2） m ， n 为质数，且 n +12 m 是偶数．

答案详解

1．（C）

【解析】 条件（1）：令 a =4，显然不充分．

条件（2）：令 a =13，显然不充分．

联立两个条件：

由条件（1）得 = ，可知 a 能被4整除．

由条件（2），可知 a 能被13整除．

故 a 可被4和13的最小公倍数，即52整除，所以 是整数．所以两个条件联立起来充分．

2．（C）

【解析】 特殊值法、拆项法．

条件（1）：令 n =4，显然不充分．

条件（2）：令 n =6，显然不充分．

联立两个条件，拆项得公共部分：

= = +1，因为 为整数，故 n -1必能被3整除．

= = +1，因为 为整数，故 n -1必能被5整除．

又因为3与5互质，故 n -1能被15整除，所以 = = +1必为整数．联立两个条件充分．

3．（C）

【解析】 因式分解法．

3 a （2 a +1）+ b （1-7 a -3 b ）=3 a + b +（3 a + b ）（2 a -3 b ）=（3 a + b ）（2 a -3 b +1）．

显然条件（1）和条件（2）单独都不充分，联立起来充分．

4．（D）

【解析】 设商为 k ，则这三个数为6 k ，7 k ，8 k ，由三个数的和为252，可得

6 k +7 k +8 k =252，

解得 k =12，故8 k -6 k =2 k =24．

5．（A）

【解析】 无理数的整数部分+整除问题．

条件（1）： m + = -2+ = -2+ = ．

又因为4= < < =5，故 m + 的整数部分为 4，即 n =4， 是整数，所以条件（1）充分．

条件（2）：12 m 一定是偶数，由奇偶性可知，若 n +12 m 是偶数，则 n 为偶数．又因为 n 为质数，所以 n =2， = 不是整数，所以条件（2）不充分．

题型2 带余除法问题

母题精练

1．正整数 n 的8倍与5倍之和，除以10的余数为9，则 n 的个位数字为（ ）．

（A）2

（B）3

（C）5

（D）7

（E）9

2．设 n 为自然数，被5除余数为2，被6除余数为3，被7除余数为4，若100< n <800，则这样的数共有（ ）个．

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

（E）5

3．自然数 n 的各位数字积是6．

（1） n 是除以5余3且除以7余2的最小自然数．

（2） n 是形如2 ^{4 m} （ m ∈ Z ⁺ ）的最小正整数．

4．有一个四位数，它被121除余2，被122除余109，则此数字的各位数字之和为（ ）．

（A）12

（B）13

（C）14

（D）16

（E）17

5．篮子里装有不多于500个苹果，如果每次2个、每次3个、每次4个、每次5个、每次6个的取出，篮子里都剩下一个苹果，如果每次7个的取出，那么没有苹果剩余，篮子里共有（ ）个苹果．

（A）241

（B）301

（C）361

（D）421

（E）481

答案详解

1．（B）

【解析】 8 n +5 n =13 n ，13 n 被10除余9，则13 n 的个位数字为9，故 n 的个位数字为3．

2．（C）

【解析】 带余除法问题之差同减差．

由题干，设 n =210 k -3（ k 为正整数）．

又因为100< n <800，令 k 取1，2，3，可得 n =207或 n =417或 n =627．

故这样的数共有3个．

3．（D）

【解析】

条件（1）：不同余问题．

方法一： 设 n =5 k ₁ +3， n =7 k ₂ +2（ k ₁ ， k ₂ ∈ Z ⁺ ），则有

5 k ₁ +3=7 k ₂ +2，

解得 k ₂ = ．

穷举可知，当 k ₁ =4， k ₂ =3时， n _min =23，故 n 的各位数字积为2×3=6，条件（1）充分．

方法二： n =5 k ₁ +3=7 k ₂ +2=5 k ₂ +2 k ₂ +5-3=5（ k ₂ +1）+2 k ₂ -3．

因为 n 被5除的商和余数均应为定值，故有

⇒ k ₁ =4， k ₂ =3．

故 n =5 k ₁ +3=5×4+3=23，则 n 的各位数字积为2×3=6，条件（1）充分．

条件（2）： n _min =2 ⁴ =16，故 n 的各位数字积为1×6=6，条件（2）充分．

4．（E）

【解析】 设所求的4位数为 x ，则有

k ₁ 显然不能等于 k ₂ ，由第二个式子可得

x =（121+1） k ₂ +121-12=121（ k ₂ +1）+ k ₂ -12．

故可知

解得

因此 x =121×15+2=1 817.故各位数字之和为1+8+1+7=17．

5．（B）

【解析】 同余问题+不同余问题．

设篮子里一共有 m 个苹果．由“每次2个、每次3个、每次4个、每次5个、每次6个的取出，篮子里都剩下一个苹果”知 m -1能被2、3、4、5、6的最小公倍数60整除，设 m =60 k ₁ +1（ k ₁ ∈ Z ⁺ ）．

又由“每次7个的取出，那么没有苹果剩余”，设 m =7 k ₂ （ k ₂ ∈ Z ⁺ ）．

选项代入可知，只有（B）选项同时满足以上形式，故选（B）．

题型3 奇数与偶数问题

母题精练

1．令 a + b + c = n ，则 n 为奇数．

（1） a ， b ， c 为互不相同的合数．

（2） a ， b ， c 为互不相同的质数．

2． m 为偶数．

（1）设 n 为整数， m = n ² + n ．

（2）在1，2，3，4，…，90这些自然数中的相邻两数之间任意添加一个加号或减号，运算结果为 m ．

3． m 一定是偶数．

（1）已知 a ， b ， c 都是整数， m =3 a （2 b + c ）+ a （2-8 b - c ）．

（2） m 为连续的三个自然数之和．

4．若 x ， y ， z 都是整数，则 x ² - y ² - z ² -2 yz 为奇数．

（1） xyz 是奇数．

（2） x + y + z 是奇数．

答案详解

1．（E）

【解析】 举反例．

条件（1）：令 a ， b ， c 分别取6，8，10，可得条件（1）不充分．

条件（2）：令 a ， b ， c 分别取2，5，7，可得条件（2）也不充分．

两个条件无法联立．

2．（A）

【解析】 条件（1）： m = n ² + n = n （ n +1），相邻两个数必为一奇一偶，一奇一偶相乘必为偶数，条件充分．

条件（2）：由奇数和偶数的四则运算规律可知，偶数个奇数进行加减运算，运算结果必为偶数；奇数个奇数进行加减运算，运算结果必为奇数．故1，2，3，4，…，90中有45个奇数进行加减运算，运算结果必为奇数，再与45个偶数做加减运算，运算结果必为奇数，条件（2）不充分．

3．（A）

【解析】 条件（1）： m =3 a （2 b + c ）+ a （2-8 b - c ）=6 ab +3 ac +2 a -8 ab - ac =2 ac -2 ab +2 a ．

当 a ， b ， c 都是整数时，上式显然能被2整除，是偶数，条件（1）充分．

条件（2）：连续的三个自然数，有可能是2奇1偶或者2偶1奇．若是2偶1奇，则 m 为奇数，故条件（2）不充分．

4．（D）

【解析】 x ² - y ² - z ² -2 yz = x ² -（ y + z ） ² =（ x + y + z ）（ x - y - z ）．

条件（1）： xyz 是奇数，可知 x ， y ， z 都是奇数．故 x + y + z 是奇数， x - y - z 也是奇数，所以，两者乘积也是奇数，故条件（1）充分．

条件（2）： x + y + z 是奇数，可知 x - y - z 也是奇数，所以，两者乘积也是奇数，故条件（2）也充分．

题型4质数与合数问题

母题精练

1．在20以内的质数中，两个质数之差还是质数的共有（ ）种．

（A）2

（B）3

（C）4

（D）6

（E）8

2．已知3个质数的倒数和为 ，则这三个质数的和为（ ）．

（A）34

（B）35

（C）36

（D）38

（E）42

3．设 m ， n 都是自然数，则 m =2．

（1） n ≠2， m + n 为奇数．

（2） m ， n 均为质数．

4．在不大于20的正整数中，既是奇数又是合数的所有数的算术平均值为（ ）．

（A）16

（B）14

（C）8

（D）10

（E）12

5．| m - n |=15．

（1）质数 m ， n 满足5 m +7 n =129．

（2）设 m 和 n 为大于0的整数， m 和 n 的最大公约数为15，且3 m +2 n =180．

6．三个质数 a ， b ， c 的乘积是这三个数和的5倍，则 =（ ）．

（A）1

（B）

（C）3

（D）

（E）

7．三个质数 a ， b ， c 满足条件 ab + ac + bc + abc =127，则（ a + b ）（ a + c ）（ b + c ）的值为（ ）．

（A）910

（B）1 056

（C）772

（D）840

（E）693

答案详解

1．（E）

【解析】 20以内的质数为2，3，5，7，11，13，17，19．

大于2的质数一定为奇数，故两个质数的差还是质数的前提是作差的过程中必存在1个偶质数，即2，情况可分为两种：

（1）两个奇质数的差为2：（19，17），（13，11），（7，5），（5，3）；

（2）一个奇质数减去2，差为另外一个奇质数：（19，2），（13，2），（7，2），（5，2）．

故共有8组．

2．（C）

【解析】 分解质因数法．

设这三个数分别为 a ， b ， c ，则有

将186分解质因数，可知186=2×3×31，故这三个数可能为2，3，31，代入式①验证成立，故有 a + b + c =36．

3．（C）

【解析】 取特殊值，显然两个条件单独都不充分．考虑联立．

由条件（1）可知， m + n 为奇数，则 m ， n 必为一奇一偶．

又由条件（2）可知， m ， n 均为质数，则两数必有一个为偶质数2，又由 n ≠2，故 m =2．

所以两个条件联立起来充分．

4．（E）

【解析】 在不大于20的正整数中，既是奇数又是合数的只有9和15，所以算术平均值为 =12．

5．（B）

【解析】 奇偶分析法．

条件（1）：由奇偶性可得5 m ，7 n 必为一奇一偶．

①若 m 为偶数，则 m =2， n =17，可推出题干；

②若 n 为偶数，则 m =23， n =2，无法推出题干，故条件（1）不充分．

条件（2）：由题干可设 m =15 k ， n =15 t （ k ， t 互质），代入3 m +2 n =180中得3 k +2 t =12，显然 k 为偶数，仅有一组整数解 k =2， t =3.故| m - n |=|30-45|=15，条件（2）充分．

6．（E）

【解析】 特殊数字5突破法．

由题干，得 abc =5（ a + b + c ）．由于 a ， b ， c 都是质数，所以 a ， b ， c 中一定有一个数为5．

假设 a =5，则有5 bc =5（5+ b + c ），化简有（ b -1）（ c -1）=6.因此 b -1和 c -1的值为2，3或者1，6．

若 b -1=2， c -1=3，解得 b =3， c =4，不符合题意；

若 b -1=1， c -1=6，解得 b =2， c =7，符合题意．

因此三个质数的值为2，5，7.所以 = = ．

7．（A）

【解析】 奇偶分析法+穷举法．

若质数 a ， b ， c 均为奇数，则 ab + ac + bc + abc 为偶数，与题干矛盾，故三个质数中必有偶质数2，可假设 a =2，则有2 b +2 c +3 bc =127，然后穷举不难得出另外两个质数为3和11．

因此，（ a + b ）（ a + c ）（ b + c ）=5×13×14=910．

题型5 约数与倍数问题

母题精练

1．若 n 是一个大于2的正整数，则 n ³ - n 一定有约数（ ）．

（A）7

（B）6

（C）8

（D）4

（E）5

2．已知两数之和是40，它们的最大公约数与最小公倍数之和是56，则这两个数的几何平均值为（ ）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（E）8

3．有5个最简正分数的和为1，其中的三个是 ， ， ，其余两个分数的分母为两位整数，且这两个分母的最大公约数是21，则这两个分数的积的所有不同值的个数为（ ）．

（A）2个

（B）3个

（C）4个

（D）5个

（E）无数个

4．有两个不为1的自然数 a ， b ，已知两数之和是31，两数之积是750的约数，则| a - b |=（ ）．

（A）13

（B）19

（C）20

（D）23

（E）25

答案详解

1．（B）

【解析】 n ³ - n =（ n -1） n （ n +1）（ n 个连续自然数相乘一定可以被 n ！整除），故3个连续的自然数相乘，一定可以被6整除．

2．（A）

【解析】 设 x = ak ， y = bk （令 a < b ， k 为最大公约数，且 k ≠0），故最小公倍数为 abk ，由题意得

等价于

所以， k 为40和56的公约数， k =1，2，4，8. k 取最大值8，则有

⇒

故 x =16， y =24.所以 = = ．

3．（C）

【解析】 因为1- - - = ，所以其余两个分数之和为 ．

由于这两个分数的分母都是两位数，最大公约数是21，且为最简分数，故分母只可能是21和63．

设这两个分数为 和 （ m ， n 是正整数），则 + = ，可得3 m + n =26．

由于1≤3 m ≤25，所以1≤ m ≤8且 m 不能是3或7的倍数，故 m 只能是1，2，4，5，8．

因为 n 不能是3，7或9的倍数，故只有 m =1， n =23; m =2， n =20; m =5， n =11; m =8， n =2四组解．

4．（B）

【解析】 由题意可知， a + b =31， n （ a × b ）=750（ n 为正整数），将750分解质因数可得750=2×3×5×5×5．

由 a + b =31，可得750=2×3×5×5×5=5×（25×6）．所以| a - b |=19．

题型6 整数不定方程问题

母题精练

1．小明买了三种水果共30千克，共用去80元．其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元．已知小明买的三种水果的重量均为整数，则他买橘子的重量为（ ）．

（A）奇数

（B）偶数

（C）质数

（D）合数

（E）不确定

2．某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生．原计划一等奖每人发6支，二等奖每人发3支，三等奖每人发2支．后又改为一等奖每人发9支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支，则得一等奖的学生有（ ）人．

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

（E）5

3．一个整数 x ，加6之后是一个完全平方数，减5之后也是一个完全平方数，则 x 的各数位上的数字之和为（ ）．

（A）3

（B）4

（C）5

（D）6

（E）7

4．已知 a ₁ ， a ₂ ， a ₃ ， a ₄ ， a ₅ 是满足条件 a ₁ + a ₂ + a ₃ + a ₄ + a ₅ =-7的不同整数， b 是关于 x 的一元五次方程（ x - a ₁ ）（ x - a ₂ ）（ x - a ₃ ）（ x - a ₄ ）（ x - a ₅ ）=1 773的整数根，则 b 的值为（ ）．

（A）15

（B）17

（C）25

（D）36

（E）38

5．实数 x 的值为8或3．

（1）某车间原计划30天生产零件165个，前8天共生产44个，从第9天起每天至少生产 x 个零件，才能提前5天超额完成任务．

（2）小王的哥哥的年龄是20岁，小王的年龄的2倍加上他弟弟的年龄的5倍等于97，小王比他弟弟大 x 岁．

6．幼儿园的老师购买了一盒铅笔分给班级里的小朋友，则能够确定铅笔的数量．

（1）若每人分3支，则剩余30支．

（2）若每人分10支，则只有一人不够．

7．已知 x ， y 均为整数，则2（ x + y ）= xy +7的解有（ ）组．

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

（E）5

8．冬雨买了三种书，其中《老吕逻辑》3本、《老吕数学》5本、《老吕写作》9本，一共花了29元钱，则这三种书的单价之和为（ ）．

（A）5或7

（B）5或9

（C）4或5

（D）7或9

（E）3或9

答案详解

1．（B）

【解析】 设苹果买了 x 千克，橘子买了 y 千克，则梨买了30- x - y 千克．根据题意，得

4 x +3 y +2（30- x - y ）=80，

解得 y =20-2 x ，故橘子的重量 y 为偶数．

2．（A）

【解析】 设一等奖有 x 人、二等奖有 y 人、三等奖有 z 人，则

⇒12 x +5 y =22⇒ y = ．

由穷举法，得 x =1， y =2， z =5.所以，得一等奖的学生有1人．

3．（A）

【解析】 分解因数法． 由题意知

两式相减，得11= m ² - n ² =（ m + n ）（ m - n ）=11×1.故有

解得

所以 x = m ² -6=30，各位上的数字之和为3．

【快速得分法】 穷举法，由题干知两个完全平方数的差为11，从最小的完全平方数开始穷举，易知这两个完全平方数为25，36，可知 x =30．

4．（E）

【解析】 分解因数法．

（ x - a ₁ ）（ x - a ₂ ）（ x - a ₃ ）（ x - a ₄ ）（ x - a ₅ ）=1 773=1×（-1）×3×（-3）×197．

得 x - a ₁ =1， x - a ₂ =-1， x - a ₃ =3， x - a ₄ =-3， x - a ₅ =197．

故

（ x - a ₁ ）+（ x - a ₂ ）+（ x - a ₃ ）+（ x - a ₄ ）+（ x - a ₅ ）

=5 x -（ a ₁ + a ₂ + a ₃ + a ₄ + a ₅ ）

=1-1+3-3+197=197．

得5 x +7=197， x =38，故 b 的值为38．

5．（D）

【解析】 条件（1）：提前5天完成，则一共工作了25天，由题意知

44+（25-8） x ≥165，

解得 x ≥7.1，因为 x 只能取整数，故 x =8，条件（1）充分．

条件（2）：设小王的年龄为 a ，他弟弟的年龄为 b ，根据题意知

2 a +5 b =97，得 a = <20．

穷举可知， a =16， b =13，故 x =16-13=3，条件（2）充分．

6．（C）

【解析】 显然条件（1）和条件（2）单独都不充分，考虑联立．

方法一： 设有 x 名小朋友， y 支铅笔，条件（2）中不够的那个人分得 t 支．根据题意，得

联立得 x = （0≤ t <10），又 x ， y ， t 均为整数，故当 t =5时满足题干，此时 x =5．

所以，铅笔的数量 y =3×5+30=45（支），两个条件联立充分．

方法二： 设有 x 名小朋友， y 支铅笔，根据题意，可得

联立得9 x ≤3 x +30<10 x ，解不等式，得 < x ≤5，因为 x 为整数，故 x 只能取5．

所以，铅笔的数量 y =3×5+30=45（支），两个条件联立充分．

7．（D）

【解析】 xy ， x ， y 型母题的解题思路： 两次提公式法．

已知 Axy + Bx + Cy + D =0（ A ≠0），则有

xy + + + =0，

+ - + =0，

= - ，

（ Ax + C ）（ Ay + B ）= BC - AD ．

代入本题，分解质因数可得

2（ x + y ）= xy +7，

xy -2 x -2 y +7=0，

x （ y -2）-2（ y -2）-4+7=0，

（ x -2）·（ y -2）=-3=（-1）×3=1×（-3）=（-3）×1=3×（-1），

由此可得，方程的解为（1，5），（3，-1），（-1，3），（5，1），共有4组．

8．（A）

【解析】 设《老吕逻辑》单价为 x 元、《老吕数学》单价为 y 元、《老吕写作》单价为 z 元，根据题意得

3 x +5 y +9 z =29，

分析可知 z 只可能为1，2，3，否则9 z >29不符合题意．

令 z =1，则3 x +5 y +9×1=29，3 x +5 y =20， x = ，穷举可知 x =5， y =1．

令 z =2，则3 x +5 y +9×2=29，3 x +5 y =11， x = 穷举可知 x =2， y =1．

令 z =3，则3 x +5 y +9×3=29，3 x +5 y =2，易知无整数解．

故三种书的单价之和为 x + y + z =5+1+1=7或 x + y + z =2+1+2=5．

题型7 无理数的整数和小数部分

母题精练

1． a = 的小数部分是 b ，则 =（ ）．

（A）4+

（B）4-

（C）3+

（D）4-

（E）4+

2．设 x = ， a 是 x 的小数部分， b 是- x 的小数部分，则 a ³ + b ³ +3 ab =（ ）．

（A）0

（B）1

（C）2

（D）3

（E）4

3．设 的整数部分为 a 、小数部分为 b ，则 a ² + + b ² =（ ）．

（A）0

（B）1

（C）

（D）3

（E）5

4．设 x ∈ R ，记不超过 x 的最大整数为[ x ]，令{ x }= x -[ x ]，则 ， ， （ ）．

（A）是等差数列但不是等比数列

（B）是等比数列但不是等差数列

（C）既是等差数列又是等比数列

（D）既不是等差数列也不是等比数列

（E）得不出任何结论

答案详解

1．（E）

【解析】 由题干，有 a = = =2+ ，则 b = a -3= -1．

故 = =4+ ．

2．（B）

【解析】 因为 x = = +2≈2.236+2=4.236，故 x 的小数部分： a = x -4= +2-4= -2.- x =-（ +2）≈-4.236，整数部分为-5，故- x 的小数部分： b =-（ +2）-（-5）=3- ．

所以 a + b =（ -2）+（3- ）=1.则

a ³ + b ³ +3 ab =（ a + b ）（ a ² - ab + b ² ）+3 ab = a ² +2 ab + b ² =（ a + b ） ² =1．

3．（E）

【解析】 分母有理化，即 = ≈2.618，故 a =2， b = -2= ．

所以 a ² + + b ² =2 ² + ×2× + =5．

4．（B）

【解析】 可分别求得 =1， = ．因为 × =1，由等比数列的中项性质易得三者构成等比数列．

题型8 有理数与无理数的运算

母题精练

1．设 x ， y 是有理数，且（ x - ） ² =6- ，则 x ² + y ² =（ ）．

（A）2

（B）3

（C）4

（D）5

（E）6

2．已知 a ， b ， c 为有理数，有 a = b = c =0．

（1） a + + =0．

（2） a + + =0．

3． a ， b 是有理数，若方程 x ³ + ax ² - ax + b =0有一个无理根 则方程的唯一有理根是（ ）．

（A）3

（B）2

（C）-3

（D）-2

（E）-1

4．设 a 是一个无理数，且 a ， b 满足 ab + a - b =1，则 b =（ ）．

（A）0

（B）1

（C）-1

（D）±1

（E）1或0

5．已知 m ， n 是有理数，且（ +2） m +（3- ） n +7=0，则 m + n =（ ）．

（A）-4

（B）-3

（C）4

（D）1

（E）3

6．已知 a ， b 为有理数，若 = + b ，则 a + b 为（ ）．

（A）-2

（B）-1

（C）0

（D）1

（E）2

7．设整数 a ， m ， n 满足 = - ，则 a + m + n 的取值有（ ）种．

（A）0

（B）1

（C）2

（D）3

（E）无数

8．（ + ） ^{1 998} （ - ） ^{2 000} =（ ）．

（A）5-

（B）5+

（C） -

（D）5+

（E）5-

答案详解

1．（D）

【解析】 方法一： 因为（ x - ） ₂ = x ₂ +2 y ₂ - =6- 所以 解得 或 （舍掉），故 x ² + y ² =5．

方法二： 已知（ x - ） ² =6- =（2- ） ² ，因为 x ， y 是有理数，则有 x - =2- ⇒ x =2， y =1，故 x ² + y ² =5．

2．（A）

【解析】 条件（1）： a + + =0中 ， 是无理数，所以只能 a = b = c =0，充分．

条件（2）： a + + = a +2 b + =0，得 a +2 b =0， c =0，故 a = b = c =0不恒成立，条件不充分．

3．（C）

【解析】 因为 是方程的根，故代入方程，可得 +3 a + + b =0．

合并同类项，得（ a -3） +（3 a + b ）=0，解得

则方程为 x ³ +3 x ² -3 x -9=0⇒（ x ² -3）（ x +3）=0，故方程的唯一有理根为-3．

4．（C）

【解析】 ab + a - b =1⇒ a （ b +1）-（ b +1）=0⇒（ a -1）（ b +1）=0．

因为 a 是一个无理数，则 a -1也是无理数，故 b +1=0， b =-1．

5．（B）

【解析】 （ +2） m +（3- ） n +7=（ m -2 n ） +2 m +3 n +7=0，得

解得 m =-2， n =-1，则 m + n =-3．

6．（D）

【解析】 = = =2- = + b ．

故 a =-1， b =2， a + b =1．

7．（C）

【解析】 根据原方程左边大于等于0，可知 m ≥ n ．两边平方，得 a ² - = m + n - ，故有

解得

故 a + m + n 的取值有2种．

8．（A）

【解析】 利用公式（ + ）（ - ）=1求解．

原式=（ + ） ^{1 998} （ - ） ^{1 998} （ - ） ²

= （ + ）（ - ） ^{1 998} （ - ） ²

=（ - ） ² =5- ．

题型9 实数的运算技巧

母题精练

1． ×（1+ ）=（ ）．

（A）-1 999

（B）-1 998

（C）2 000

（D）1 999

（E）1 998

2．（1+2）×（1+2 ² ）×（1+2 ⁴ ）×（1+2 ⁸ ）×…×（1+2 ³² ）=（ ）．

（A）2 ⁶⁴ -1

（B）2 ⁶⁴ +1

（C）2 ⁶⁴

（D）1

（E）以上选项均不正确

3． × - × =（ ）．

（A）

（B）

（C）0

（D）1

（E）-1

4．8+88+888+…+888 888 888=（ ）．

（A） × -8

（B） × -8

（C） -8

（D） × +8

（E）以上选项均不正确

5． + + +…+ =（ ）．

（A）1-

（B）1-

（C）

（D）

（E）1-

6．1- - -…- =（ ）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（E）

7． × × ×…× =（ ）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（E）

8． + + + =（ ）．

（A）4

（B）5

（C）

（D）

（E）

9．对于一个不小于2的自然数 n ，关于 x 的一元二次方程 x ² -（ n +2） x -2 n ² =0的两个根记作 a _n ， b _n （ n ≥2），则 + +…+ =（ ）．

（A） ×

（B） ×

（C） ×

（D） ×

（E） ×

10． + + +…+ =（ ）．

（A）10

（B）11

（C）12

（D）13

（E）15

11．已知 a ₁ ， a ₂ ， a ₃ ，…， a _{1 996} ， a _{1 997} 均为正数，又 M =（ a ₁ + a ₂ +…+ a _{1 996} ）（ a ₂ + a ₃ +…+ a _{1 997} ）， N =（ a ₁ + a ₂ +…+ a _{1 997} ）（ a ₂ + a ₃ +…+ a _{1 996} ），则 M 与 N 的大小关系是（ ）．

（A） M = N

（B） M < N

（C） M > N

（D） M ≥ N

（E） M ≤ N

答案详解

1．（E）

【解析】 分母有理化．

×（1+ ）

=（ -1+ - +…+ - ）×（ +1）

=（ -1）（ +1）

=1 999-1=1 998．

2．（A）

【解析】 凑平方差公式法．

原式= =2 ⁶⁴ -1．

3．（A）

【解析】 换元法．

设公共部分为 t = + +…+ ，则

原式=（1+ t ） -

= t + + t ² + - t - t ² -

= ．

4．（A）

【解析】 利用9+99+999+9 999+…=10 ¹ -1+10 ² -1+10 ³ -1+10 ⁴ -1+…解题．

原式可化为

×（9+99+999+…+999 999 999）

= ×（10-1+10 ² -1+10 ³ -1+…+10 ⁹ -1）

= ×（10+10 ² +10 ³ +…+10 ⁹ -9）

= × -8

= × -8．

5．（B）

【解析】 裂项相消法．

因为 = - ．

故原式=1- + - +…+ - =1- ．

6．（B）

【解析】 裂项相消法．

原式=1- - -…- = ．

7．（E）

【解析】 分子分母相消法．

因为1- = · ．故原式= × × × × × ×…× × = × = ．

8．（D）

【解析】 裂项相消法．

原式=1+ +1+ +1+ +1+

=4+2×

=4+ ×

=4+ ×

= ．

9．（E）

【解析】 韦达定理+裂项相消法．

由韦达定理，知 a _n + b _n = n +2， a _n b _n =-2 n ² ．故

= = = ·

则

+ +…+

= ×

= ×

= ×

= × ．

10．（C）

【解析】 = ，故

+ + +…+

= ×（ -1+ - +…+ - ）

=12．

11．（C）

【解析】 令 a ₂ + a ₃ +…+ a _{1 996} = t ，则

M - N =（ a ₁ + t ）（ t + a _{1 997} ）-（ a ₁ + t + a _{1 997} ） t = a ₁ a _{1 997} >0．

故 M > N ．

题型10 其他实数问题

母题精练

1．把整数部分是0，循环节有2位数字的纯循环小数化成最简分数后，如果分母是一个两位数的质数，那么这样的最简真分数有（ ）个．

（A）10

（B）9

（C）8

（D）36

（E）37

2．已知 a = -1， b = - ， c = -2，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ）．

（A） a < b < c

（B） b < a < c

（C） c < b < a

（D） c < a < b

（E） a < c < b

3．已知0< x <1，那么在 x ， ， ， x ² 中，最大的数是（ ）．

（A） x

（B）

（C）

（D） x ²

（E）无法确定

答案详解

1．（A）

【解析】 设这个纯循环小数为 ，化成分数为 = = ．

因此，分母的两位数质数肯定是11，又因为此分数为最简真分数，故必大于0小于1，所以此分数可能为 ， ， ， ，…， ，共10个．

2．（B）

【解析】 易知

a = -1= = ， b = - = ， c = -2= ．

所以 b < a < c ．

3．（B）

【解析】 特殊值法，令 x = ，可知最大的数为 ． DdWbo+9d2MwYXq+5vaJyD05CK6j2O0RhWtn8S3iHYc/oJkwL8xA5gJVnV2Kgup6d