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图 2.1 所示为一个带有集中质量负载的单摆模型，摆动角是 θ ，绳长是 l 。由牛顿第二定律可以得到动力学模型：
将式（2.4）转化为式（2.1）和式（2.2）的形式，然后由式（2.3）求解出平衡点：零摆动角位移、零摆动角速度。
图 2.1 带有集中质量负载的单摆模型
式（2.4）所示的动力学模型的振动频率可以用进行泰勒展开后的频率估计方程求得，即
式（2.5）表明，单摆非线性频率除了受系统结构的影响外，还受振幅的影响。单摆非线性频率随着绳长的增大而减小，即随着振幅的增大而减小。在平衡点处，摆动振幅为零，单摆非线性频率等于线性频率
，随着振幅增大，单摆非线性频率逐渐减小。这种系统刚度随着变形增大而逐步减小的系统，称为软弹簧系统。
图 2.2 所示为一个非线性质量弹簧振子的模型，质量块的变形量是 x 、质量是 m 。弹簧恢复力 F spring 和变形量 x 之间关系为
由牛顿第二定律可以得到动力学模型：
图 2.2 非线性质量弹簧振子的模型
将式（2.7）转化为式（2.1）和式（2.2）的形式，然后由式（2.3）求解出平衡点：零变形位移、零变形速度。
式（2.7）的振动频率可以用下面的频率估计方程求得：
式（2.8）表明，质量弹簧振子频率除了受系统结构的影响外，还受变形量的影响。质量弹簧振子频率随着线性刚度系数
k
1
的增大而增大，随着质量
m
的增大而减小，随着变形量的增大而增大；当
k
3
为正数时，呈现刚度渐硬的特性。在平衡点处，变形量为零，质量弹簧振子频率等于线性频率
。随着质量块远离平衡位置，变形量逐渐增大，质量弹簧振子非线性频率逐渐增大。这种系统刚度随着变形增大而逐步增大的系统，称为硬弹簧系统。