3.1 滑模控制

考虑一个二阶系统：

式中， h （·）， g （·）——非线性函数， g （·）＞ 0。

设计一个运动约束函数：

该函数满足：

假设函数 h （·）和 g （·）满足下式：

设计一个切换控制器：

式中，

设计李雅普诺夫函数 V （ x ）＝0.5 s ² ，则

因此，轨迹会在有限时间内到达运动约束函数（式（3.2））上，在到达后不会离开，保持状态渐进稳定到平衡点。图 3.1 给出了一个滑模控制的相图，其运动轨迹包括两部分：第一部分是在有限时间内轨迹到达运动约束函数（式（3.2））；第二部分是沿着这个运动约束函数滑动到平衡点。在运动约束函数上，动力学过程满足 _{1 ＋} ax _{1 ＝0，} 动力学过程实现了降维效果。运动约束函数称为滑动平面，控制器（式（3.4））称为滑模控制器。

例 3. 1 滑模控制器设计。

机器的状态方程：

式中， u 是输入， g 为重力加速度常数， m 、 l 、 k 是系统结构参数。设计一个滑模控制器，使被控系统稳定在 x ₁ ＝0、 x ₂ ＝0。

根据式（3.4）设计滑模控制器：

系统结构参数 m ＝0.1、 l ＝1、 k ＝0.02。摆动角位移范围为（－0.5π，0.5π），摆动角速度（rad/ s）范围为（－2π，2π）。根据式（3.3）计算不等式约束：

则控制器系数 β ＝4。初始状态为 x ₁ ＝－0.25π、 x ₂ ＝0。仿真结果如图 3.2 所示。在滑模控制器作用下，经 0.05 s运动到滑模平面 s 上，然后在该平面附近高速切换，沿着该平面收敛到目标点。