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相对初始给定的扰动，系统运动是否具有稳定性，即在无穷时间区间内是否具有对初值变动的连续依赖性？如果具有稳定性且随时间推移未被扰动的特定运动与经扰动后的运动之间的差能收敛至零，则称为是渐近稳定的。
系统
＝
f
（
x
）对应的平衡点是
x
＝0。如果对任意
ε
＞ 0，存在函数
δ
（
ε
）＞ 0，满足
则该系统在该平衡点处稳定。否则，就是不稳定的。
若满足下式：
则该系统在该平衡点处渐近稳定。
俄国数学家、力学家李雅普诺夫于 1892 年的博士论文《运动稳定性一般问题》为稳定性理论做出了奠基性贡献。
李雅普诺夫稳定定理：
系统
＝
f
（
x
）对应的平衡点是
x
＝0。
D
⊂
R
n
包含该平衡点的域。存在一个连续可微函数
V
：
D
→
R
，满足：
（1） V （0）＝0 且 V （ x ） ＞ 0 在 D －｛0｝域内。
（2）
（
x
）≤0，在
D
域内，则该平衡点处是李雅普诺夫稳定的。
（3）
（
x
） ＜ 0，在
D
域内，则该平衡点处是李雅普诺夫渐近稳定的。
全局渐近稳定定理：
系统
＝
f
（
x
）对应的平衡点是
x
＝0。存在一个连续可微函数
V
：
R
n
→
R
，满足：
则该平衡点处是全局渐近稳定的。
例 2. 4 有单摆动力学模型：
请研究它的稳定性。
解 ：平衡点是 x 1 ＝0、 x 2 ＝0。
构造一个李雅普诺夫函数
V
（
x
）＝
a
（1－cos
x
1
）＋
该函数具有
V
（0）＝0，在域
x
1
∈（－π，π）内
V
（
x
）正定。
该模型满足李雅普诺夫稳定定理，系统是稳定的，处于临界稳定状态。因此，随着时间推移，李雅普诺夫函数 V （ x ）没有衰减，处于振荡状态。