相对初始给定的扰动,系统运动是否具有稳定性,即在无穷时间区间内是否具有对初值变动的连续依赖性?如果具有稳定性且随时间推移未被扰动的特定运动与经扰动后的运动之间的差能收敛至零,则称为是渐近稳定的。
系统
=
f
(
x
)对应的平衡点是
x
=0。如果对任意
ε
> 0,存在函数
δ
(
ε
)> 0,满足
则该系统在该平衡点处稳定。否则,就是不稳定的。
若满足下式:
则该系统在该平衡点处渐近稳定。
俄国数学家、力学家李雅普诺夫于 1892 年的博士论文《运动稳定性一般问题》为稳定性理论做出了奠基性贡献。
李雅普诺夫稳定定理:
系统
=
f
(
x
)对应的平衡点是
x
=0。
D
⊂
R
n
包含该平衡点的域。存在一个连续可微函数
V
:
D
→
R
,满足:
(1) V (0)=0 且 V ( x ) > 0 在 D -{0}域内。
(2)
(
x
)≤0,在
D
域内,则该平衡点处是李雅普诺夫稳定的。
(3)
(
x
) < 0,在
D
域内,则该平衡点处是李雅普诺夫渐近稳定的。
全局渐近稳定定理:
系统
=
f
(
x
)对应的平衡点是
x
=0。存在一个连续可微函数
V
:
R
n
→
R
,满足:
则该平衡点处是全局渐近稳定的。
例 2. 4 有单摆动力学模型:
请研究它的稳定性。
解 :平衡点是 x 1 =0、 x 2 =0。
构造一个李雅普诺夫函数
V
(
x
)=
a
(1-cos
x
1
)+
该函数具有
V
(0)=0,在域
x
1
∈(-π,π)内
V
(
x
)正定。
该模型满足李雅普诺夫稳定定理,系统是稳定的,处于临界稳定状态。因此,随着时间推移,李雅普诺夫函数 V ( x )没有衰减,处于振荡状态。
考虑一个二阶系统:
式中, h (·), g (·)——非线性函数, g (·)> 0。
设计一个运动约束函数:
该函数满足:
假设函数 h (·)和 g (·)满足下式:
设计一个切换控制器:
式中,
设计李雅普诺夫函数 V ( x )=0.5 s 2 ,则
因此,轨迹会在有限时间内到达运动约束函数(式(3.2))上,在到达后不会离开,保持状态渐进稳定到平衡点。图 3.1 给出了一个滑模控制的相图,其运动轨迹包括两部分:第一部分是在有限时间内轨迹到达运动约束函数(式(3.2));第二部分是沿着这个运动约束函数滑动到平衡点。在运动约束函数上,动力学过程满足
1
+
ax
1
=0,
动力学过程实现了降维效果。运动约束函数称为滑动平面,控制器(式(3.4))称为滑模控制器。
图 3.1 滑模控制的相图
例 3. 1 滑模控制器设计。
机器的状态方程:
式中, u 是输入, g 为重力加速度常数, m 、 l 、 k 是系统结构参数。设计一个滑模控制器,使被控系统稳定在 x 1 =0、 x 2 =0。
根据式(3.4)设计滑模控制器:
系统结构参数 m =0.1、 l =1、 k =0.02。摆动角位移范围为(-0.5π,0.5π),摆动角速度(rad/ s)范围为(-2π,2π)。根据式(3.3)计算不等式约束:
则控制器系数 β =4。初始状态为 x 1 =-0.25π、 x 2 =0。仿真结果如图 3.2 所示。在滑模控制器作用下,经 0.05 s运动到滑模平面 s 上,然后在该平面附近高速切换,沿着该平面收敛到目标点。
(a)输出响应;(b)滑模平面响应
图 3.2 仿真结果