2.3 相图

二阶系统在机械系统分析中占据重要地位。二阶系统可以用相图进行分析。相图给出系统轨迹在平面中的变化。图 2.4 给出了线性二阶系统的 4 种相图形式。如图 2.4 （a）所示，随着时间推移，轨迹远离平衡点，所以是不稳定的；如图 2.4 （ b） （ c）所示，随着时间推移，轨迹都可以收敛到平衡点，所以都是稳定的；如图 2.4 （d）所示，随着时间推移，轨迹绕着平衡点附近运动，既不会逐渐接近平衡点，也不会逐渐远离平衡点，因此是临界稳定状态，围绕平衡点做等幅振荡。

图 2.5 给出了一种非线性单摆的相图，横坐标是摆动角位移 x ₁ ，纵坐标是摆动角速度 x ₂ 。非线性单摆的相图与图 2.4 （d）类似，都是围绕平衡点做等幅振荡，其动力学行为之所以类似，是由于非线性单摆只具有弱非线性特征。另外，图 2.5 所示的非线性单摆的平衡点不唯一，可能具有多个平衡点，只要摆动角位移为 2 k π、摆动角速度为零，就是该系统的平衡点。