2.2 非线性系统的定量分析

线性方程有精确的解析解，但是非线性方程未必有精确的解析解。非线性方程可以通过计算机求解出数值解，数值解可被认为是精确解。本节介绍两种方法来求解非线性方程的近似解析解。

2.2.1 摄动法

考虑零输入单自由度非线性二阶系统：

式中， ε ——小系数，| ε |≪1；

p ——光滑函数；

A ——常数。

将式（2.9）的解 x 和非线性频率 ω 都假设为小系数 ε 的幂级数形式，有

将式（2.10）代入式（2.9），可得

比较等式两端 ε 的同次幂系数，得到一系列线性常微分方程：

还可以依次写出高阶小系数对应的微分方程。

式（2.9）～式（2.14）给出的方法称为Lindstedt－Poincaré摄动法。

例 2. 1 自由单摆近似解问题。

对自由单摆动力学方程进行泰勒展开后忽略二阶高阶项，得

请使用Lindstedt－Poincaré摄动法求非零初速单摆系统的一次近似解。

解： 动力学方程为

式中，

假设解为一次幂级数形式，即

将假设解（式（2.16））代入动力学方程（式（2.15）），有

根据 ε 的任意性，式中 ε 同次幂的系数必然自行平衡，可知

求解式（2.18），可得

将式（2.19）代入式（2.20），可得

为了消除永年项，一倍频率对应的振幅必须为零，即

求解式（2.22），可得

消除永年项后的式（2.21）为

式（2.24）的解为

将式（2.19）、式（2.24）代入式（2.16），可得一次近似的最终解，为

例 2. 2 阻尼达芬振子。

使用摄动法求一次近似解。

解 ：假设解为一次幂级数形式，即

将假设解（式（2.28））代入动力学方程（式（2.27）），有

根据 ε 的任意性，式中 ε 同次幂的系数必然自行平衡，从而可知

对式（2.30）中第一式的右边项逐次求解，得

将式（2.31）右边的前两项整理为 C · t sin（ ωt ＋ ϕ ）形式，系数 C 为永年项。只有永年项为零，才满足能量守恒。因此， C ＝0，即可求解出频率修正项 b ₁ 。然后，将式（2.31）整理为

将式（2.29）、式（2.32）代入式（2.28），可得阻尼达芬振子的一次近似解。

2.2.2 多尺度法

定义时间尺度：

定义偏导数算子表示导数算子：

将式（2.9）的解 x 假设为时间尺度的形式：

将式（2.35）代入式（2.9），然后比较 ε 同次幂的系数，得到一系列线性偏微分方程：

式（2.36）也可以依次求解。

例 2. 3 自由单摆动力学方程泰勒展开后忽略二阶高阶项，请使用多尺度法求单摆系统的近似解。

解： 动力学方程为

式中，

假设一次近似解为

将式（2.38）代入式（2.37），得

式（2.39）对应的 ε ⁰ 解为

求解式（2.40），可得

式（2.39）对应的 ε ¹ 解为

将式（2.41）代入式（2.42），可得

式中， C ² （ T ₁ ）＝（ C （ T ₁ ）） ² ； C ³ （ T ₁ ）＝（ C （ T ₁ ）） ³ 。

为了消除永年项， T ₀ 对应的振幅必须为零，即

将假设解 C （ T ₁ ）＝ M ·e ^{j A} 代入式（2.44），可得

可得假设解为

式中，常系数 B 由初始条件决定。

去掉永年项后，式（2.43）变为

式（2.47）对应的解为

将式（2.41）、式（2.47）代入式（2.38），可得一次近似最终解，为

再将式（2.46）代入式（2.49），得

对应的非线性频率为

2.2.3 受迫系统

1.近似解

外激励驱动下单自由度非线性二阶系统为

假设输入振幅和非线性频率为

将式（2.47）代入式（2.46），可得

假设两个时间尺度的近似解为

将式（2.55）代入式（2.52）并利用式（2.34），计算并比较 ε 同次幂，得到一组线性偏微分方程，为

式（2.56）第一个方程的解为

将式（2.57）代入式（2.56）的第二个方程，可得

式中， cc ——前面各项的共轭。

利用消除永年项条件，可得

假设：

将式（2.60）代入式（2.59），分离实部、虚部，可得

利用式（2.61），即可求解出 a （ T ₁ ）和 β （ T ₁ ）。

去掉永年项后，式（2.58）变为

式（2.62）对应的解为

将式（2.63）、式（2.57）代入式（2.55），再代入式（2.60），可得式（2.52）的一次近似解，为

式中， a ³ （ T ₁ ）＝（ a （ T ₁ ）） ³ ； a （ T ₁ ）和 β （ T ₁ ）由式（2.61）确定。

2.定常解的幅频响应

定义： φ ＝ σT ₁ － β 。式（2.61）变为

为了确定对应稳态运动的定常解振幅，可令式（2.65）中 a （ T ₁ ）和 φ （ T ₁ ）对 T ₁ 的偏微分为零：

由式（2.66）可以解出相位 ＝0，然后根据下式解出定常解振幅 ：

非线性频率 ω 可由下式求得：

通过式（2.67）、式（2.68）可以得到稳态主共振的幅频响应曲线，如图 2.3 所示。对于特定的非线性频率，主共振既可能是一种，也可能是三种。

2.2.4 耦合系统

两自由度达芬振子为

式中， q _i ——第 i 模态的变形量， i ＝1，2；

η _ij ——系数， j ＝1，2，3，4；

ε ——无穷小量；

ω _i ——第 i 模态的频率，满足 ω _{1 ＞ 5} ω ₂ 。

假设一次近似解为

式中， T ₀ ， T _i ——时间尺度。

将式（2.70）代入式（2.69），可得

和

对 ε 同幂次数建立方程，有

式（2.73）的解为

假设：

将式（2.74）代入式（2.76），可得

和

消除永年项的条件为

将假设解（式（2.75））代入式（2.78），可得

式中， A ₁ ， A ₂ ——常数。

将式（2.77）、式（2.78）消除永年项后求解，有

将式（2.74）、式（2.81）、式（2.82）代入式（2.70），得到式（2.69）的一次近似解。 YOt2JR5m6sUPMX9ovAxJ82R2V6oBkUEGkhnci7FiEphrMxbLF1ORzmTyBLHqrLwF