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2.2 非线性系统的定量分析

线性方程有精确的解析解,但是非线性方程未必有精确的解析解。非线性方程可以通过计算机求解出数值解,数值解可被认为是精确解。本节介绍两种方法来求解非线性方程的近似解析解。

2.2.1 摄动法

考虑零输入单自由度非线性二阶系统:

式中, ε ——小系数,| ε |≪1;

p ——光滑函数;

A ——常数。

将式(2.9)的解 x 和非线性频率 ω 都假设为小系数 ε 的幂级数形式,有

将式(2.10)代入式(2.9),可得

比较等式两端 ε 的同次幂系数,得到一系列线性常微分方程:

还可以依次写出高阶小系数对应的微分方程。

式(2.9)~式(2.14)给出的方法称为Lindstedt-Poincaré摄动法。

2. 1 自由单摆近似解问题。

对自由单摆动力学方程进行泰勒展开后忽略二阶高阶项,得

请使用Lindstedt-Poincaré摄动法求非零初速单摆系统的一次近似解。

解: 动力学方程为

式中,

假设解为一次幂级数形式,即

将假设解(式(2.16))代入动力学方程(式(2.15)),有

根据 ε 的任意性,式中 ε 同次幂的系数必然自行平衡,可知

求解式(2.18),可得

将式(2.19)代入式(2.20),可得

为了消除永年项,一倍频率对应的振幅必须为零,即

求解式(2.22),可得

消除永年项后的式(2.21)为

式(2.24)的解为

将式(2.19)、式(2.24)代入式(2.16),可得一次近似的最终解,为

2. 2 阻尼达芬振子。

使用摄动法求一次近似解。

:假设解为一次幂级数形式,即

将假设解(式(2.28))代入动力学方程(式(2.27)),有

根据 ε 的任意性,式中 ε 同次幂的系数必然自行平衡,从而可知

对式(2.30)中第一式的右边项逐次求解,得

将式(2.31)右边的前两项整理为 C · t sin( ωt ϕ )形式,系数 C 为永年项。只有永年项为零,才满足能量守恒。因此, C =0,即可求解出频率修正项 b 1 。然后,将式(2.31)整理为

将式(2.29)、式(2.32)代入式(2.28),可得阻尼达芬振子的一次近似解。

2.2.2 多尺度法

定义时间尺度:

定义偏导数算子表示导数算子:

将式(2.9)的解 x 假设为时间尺度的形式:

将式(2.35)代入式(2.9),然后比较 ε 同次幂的系数,得到一系列线性偏微分方程:

式(2.36)也可以依次求解。

2. 3 自由单摆动力学方程泰勒展开后忽略二阶高阶项,请使用多尺度法求单摆系统的近似解。

解: 动力学方程为

式中,

假设一次近似解为

将式(2.38)代入式(2.37),得

式(2.39)对应的 ε 0 解为

求解式(2.40),可得

式(2.39)对应的 ε 1 解为

将式(2.41)代入式(2.42),可得

式中, C 2 T 1 )=( C T 1 )) 2 C 3 T 1 )=( C T 1 )) 3

为了消除永年项, T 0 对应的振幅必须为零,即

将假设解 C T 1 )= M ·e j A 代入式(2.44),可得

可得假设解为

式中,常系数 B 由初始条件决定。

去掉永年项后,式(2.43)变为

式(2.47)对应的解为

将式(2.41)、式(2.47)代入式(2.38),可得一次近似最终解,为

再将式(2.46)代入式(2.49),得

对应的非线性频率为

2.2.3 受迫系统

1.近似解

外激励驱动下单自由度非线性二阶系统为

假设输入振幅和非线性频率为

将式(2.47)代入式(2.46),可得

假设两个时间尺度的近似解为

将式(2.55)代入式(2.52)并利用式(2.34),计算并比较 ε 同次幂,得到一组线性偏微分方程,为

式(2.56)第一个方程的解为

将式(2.57)代入式(2.56)的第二个方程,可得

式中, cc ——前面各项的共轭。

利用消除永年项条件,可得

假设:

将式(2.60)代入式(2.59),分离实部、虚部,可得

利用式(2.61),即可求解出 a T 1 )和 β T 1 )。

去掉永年项后,式(2.58)变为

式(2.62)对应的解为

将式(2.63)、式(2.57)代入式(2.55),再代入式(2.60),可得式(2.52)的一次近似解,为

式中, a 3 T 1 )=( a T 1 )) 3 a T 1 )和 β T 1 )由式(2.61)确定。

2.定常解的幅频响应

定义: φ σT 1 β 。式(2.61)变为

为了确定对应稳态运动的定常解振幅,可令式(2.65)中 a T 1 )和 φ T 1 )对 T 1 的偏微分为零:

由式(2.66)可以解出相位 =0,然后根据下式解出定常解振幅

非线性频率 ω 可由下式求得:

通过式(2.67)、式(2.68)可以得到稳态主共振的幅频响应曲线,如图 2.3 所示。对于特定的非线性频率,主共振既可能是一种,也可能是三种。

图 2.3 稳态主共振的幅频响应曲线(书后附彩插)

2.2.4 耦合系统

两自由度达芬振子为

式中, q i ——第 i 模态的变形量, i =1,2;

η ij ——系数, j =1,2,3,4;

ε ——无穷小量;

ω i ——第 i 模态的频率,满足 ω 1 > 5 ω 2

假设一次近似解为

式中, T 0 T i ——时间尺度。

将式(2.70)代入式(2.69),可得

ε 同幂次数建立方程,有

式(2.73)的解为

假设:

将式(2.74)代入式(2.76),可得

消除永年项的条件为

将假设解(式(2.75))代入式(2.78),可得

式中, A 1 A 2 ——常数。

将式(2.77)、式(2.78)消除永年项后求解,有

将式(2.74)、式(2.81)、式(2.82)代入式(2.70),得到式(2.69)的一次近似解。 kYo84qP5WN3DOyNUJPDEGUTX4xJt2aDSpRYtXD/HgFZMmJTKar60CK1omtUi53In

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