5.7　运用渐近相对效率比较参数线性检验

5.7.1　定义

大量的线性检验，包括参数的和非参数的，对使用者来说都是可获得的。我们已经讨论过参数备择假设的检验，且非参数检验将在第7.2节中进行研究。通常，经济学理论对非线性模型进行精确的动态设定并不会给出足够的指导。存在一种可能性是，事实上对一个非适当的备择假设进行了线性性检验。如果能知道所讨论的检验在针对正确的备择假设时的检验效果，那将会是有意义的。或者换句话说，相对而言，当一个非适当的备择假设而不是合适的备择假设被选中时，检验效果将丧失多少。但是，在很多情况下，数据生成过程是未知的，因此，在这里，问题形成的方式听起来可能相当学术化。然而，考虑到设计有各种检验相互对比的模拟研究，参阅Luukkonen、Saikkonen和Teräsvirta（1988b），Lee等（1993），以及Hjellvik和Tjøstheim（1995）的研究，并解读它们的结果，可能都很有用。各种检验的能力性质通过模拟进行研究，但模拟的结果通常无法推广。当检验中的备择模型是参数模型时，渐近相对效率（ARE）的概念为研究效果问题提供了一个备选的策略。

为了定义ARE，考虑可加非线性模型式（5-2），但假设数据生成过程为

其中， ， Φ 是n×1维参数向量，且H=（ z t ; 0 ）=0。对于所有 z t ∈Z，函数H=（ z t ; Φ ）关于H=（ z t ; 0 ）附近的参数向量 Φ 至少二阶连续可微。对数对（y 1 , z 1 ）,…,（y T , z T ）而言，令L 1T （ β , γ ）为式（5-2）的对数似然函数，L 2T （ β , Φ ）为式（5-29）的对数似然函数。要检验的原假设，在式（5-2）中为

H 01 : γ = 0

而备择假设为H 11 : γ ≠ 0 。令相应的LM检验统计量为 。但是，数据生成过程暗含的线性假设为式（5-29）中的原假设，为

H 02 : Φ = 0

且备选假设是H 12 : Φ ≠ 0 ，把相应的检验统计量称为 。值得注意的是，这两个原假设意味着相同的线性模型，因此，在原假设有效的情况下，这两个对数似然函数有相同的值。

假设检验统计量的大值是临界的。对基于χ 2 分布的检验，情况确实如此。考虑一系列的Pitman局部备择假设H 12 : Φ = Φ T = δ /T 1/2 ， δ ≠ 0 而不是备择假设H 11 和H 12 。这允许考虑和对比各种LM统计量的渐近分布，并形成定义ARE的基础。对ARE的一个十分普遍的讨论，参阅Davidson和MacKinnon（1987）的文献。本节遵循Saikkonen（1989）提出的更特殊的处理方法。

首先，定义一个结合式（5-2）和式（5-29）并有着正态 误差的加法模型。其对数似然函数L T （ β , γ , Φ ）定义如下

考虑原假设，在L T （ β , γ , Φ ）中为

H 03 : Φ = 0

而备择假设为H 13 : Φ ≠ 0 。假定 Φ 的真实值等于 Φ 0 = δ /T 1/2 ， δ ≠ 0 ，且令 θ 0 =（ β ′ 0 , 0 ′, Φ ′ 0 ）′为 θ =（ β ′, 0 ′, Φ ′）′的真实值。此外，令 为L 1T =L 2T =L T 时的值。随后，定义对数似然L T 的总体信息矩阵为

且假设矩阵与L 1T 和L 2T 相一致，并且在 处的矩阵估值是正定的。令 ，其中，i,j=β,γ,Φ，且下标表示的是由 θ 的块状结构所定义的分块。例如， 。可以看出，在假设H 13 : Φ 0 = δ /T 1/2 ， δ ≠ 0 下，H 03 的LM统计量 渐近服从自由度为n的非中心χ 2 分布且非中心参数为

其中， 。如果λ γ （ δ ）≠0，可以证明， 对有效模型有（局部渐近）的检验效果，或者可以证明，式（5-2）中忽略了H（z t ; Φ ）形式的（局部）设定偏误导致了 的规模失真。这种选择取决于正定的非中心参数矩阵式（5-30）是否被看作是正的（检验具有效果）或者负的（检验规模失真）结果。

不管怎样，式（5-30）开启了使用非中心参数比较 和合适的检验统计量 的可能性。当局部备择假设成立时， 渐近服从自由度为n的非中心χ 2 分布，且非中心参数 。可构建如下比率

e（ δ , β , Φ ）=λ γ （ δ ）/λ Φ （ δ ）

（5-31）

结果是，对γ=n［式（5-13）中的 γ 是n×1维向量］，在大样本近似样本容量为T γ （ δ ）的比率时，为了获得对H 13 的检验效果p α 需要倒置式（5-31），对于给定的使用 的同样效果和显著性水平α的样本大小，需要运用 。对于γ≠n，Saikkonen（1989）提出了ARE的一个合理的定义是

其中，d（k,α, p α ）是非中心参数，所以， 分布的1-p α 分位数与中心 分布的1-α分位数相一致。例如，d（k, α, p α ）的表格值可以在Pearson和Hartley（1972，表25）中找到。

当r=n=1时，ARE是0和1之间的标量。一般来说，它是 δ 的函数，这可能有点令人意外。但是，得到ARE的一个更高和更低的边界以使它们独立于 δ 是可能的。较低边界为正的必要条件是rank（ I γΦ·β ）=r。这是对实际局部备择假设进行检验的原假设的维度。如果rank（ I γΦ·β ）<r，那么存在非零的 δ 使得 I γΦ·β δ = 0 。因此，当非合适的备选假设比合适的（n<r）包含的参数更少，则存在由非合适的备择模型定义的参数空间中的点，它们属于检验中隐含的原假设。该隐含的原假设包含了所有ARE等于0的点，且检验合适的局部备择假设时， 仅有微弱的渐近检验效果，可参阅Davidson和MacKinnon（1987）对此问题的讨论。

尽管上述理论已在两个条件均值模型中进行了讨论，但当错误的模型有线性均值，无时变条件方差时，它仍然是有效的。在这种情况下，信息矩阵在均值和方差参数之间通常是对角分块。这意味着 I γΦ·β = 0 ，因此，针对条件均值非线性不存在条件异方差性的原假设的标准LM检验（参见第8.2.9节），仅有微弱的局部渐近效果。但是，这并没有排除在面对条件均值的设定偏误时，该检验有全面效果的可能性。这是很常见的，例如，当检验估计的设定偏误的线性模型时，应用经济学家在处理季度宏观经济序列时“发现ARCH”。这样的发现很可能是条件均值设定偏误的后果。

5.7.2　例子

如上述所建议的那样，在对比检验和设计功效模拟时，ARE可能是一个很有用的概念。可参阅Luukkonen等（1988b）和Teräsvirta（1996）的应用例子。根据Granger和Teräsvirta（1996），可考虑如下的LSTR模型

其中， 。解释变量的值由下式生成

x t =αx t-1 +η t ,|α|<1

（5-33）

其中， ，且对式（5-32）中的参数而言，假设x t 为强外生的。我们将要对式（5-32）的线性性进行检验。此外，存在着一系列数据生成过程，包含了以下局部二元变量的双线性模型

y t =βx t +Φ T x t ε t-1 +ε t

（5-34）

其中，Φ T =δ/T 1/2 , δ≠0，且对Φ T 而言，假设x t 也是强外生的。此外，假设{η t }和{ε t }是相互独立的序列。现在要对式（5-32）中的H 01 :γ=0（线性）进行检验，而数据（y 1 ,x 1 ）,…,（y T ,x T ）是通过式（5-34）生成的。但是，线性性的合适的（局部）备择假设是H 02 : Φ T =0。正如第5.5.3节所讨论的，基于一阶泰勒展开式，用于检验H 01 的辅助回归模型为

新的原假设是H′ 01 :ψ=0。当根据泰勒展开式而忽略余项，基于式（5-35），联合（辅助）模型的条件对数似然等于

其中，假设ε 0 是固定的。根据表达式（5-33）以及ε t 和η s 的独立性，可得

其中， ，所以 I Φψ =0。值得注意的是，当lim T→∞ Φ T =0时， 将渐近消失。类似地， I βψ =0，故 I Φψ·β =0，且 的ARE，即H′ 01 的检验等于0。

如果式（5-32）和式（5-34）中的y t-1 被x t 替代，那么，情况就会完全不同。这两个模型变为单变量，前者是LSTAR模型，后者为一阶双线性模型。在这种情况下，有

相似地， I ψψ =3σ 2 （1-β 2 ） -2 且 I ΦΦ =σ 2 （3-2σ 2 ）（1-β 2 ） -1 。此外， I Φβ = I ψβ =0，使得对i,j=Φ,ψ，有 I ij·β = I ij 。对|β|<1而言，将这些放在一起，产生了 的ARE为

e ψΦ （β）=3（1-β 2 ）/（3-2β 2 ）

（5-36）

很明显，式（5-36）是β 2 的单调递减函数。对于β=0，ARE等于1，且当β 2 趋近1时，它趋近于0。在前一种情况下， 和 是渐近局部相等的检验：如果用 取代 ，则局部效果的丧失将不会出现。当β=0时，考虑式（5-34）是很直观的。忽略T -2 阶的项，得到

当x t =y t -1且β=0时，这个等式在原模型y t =ε t 的附近近似了式（5-35）。当原模型的偏差仅仅是局部的，两种检验都可以起到很好的作用。对于β 2 的大值，选择检验的方向变得非常重要。 w2WzeeTWbD7i9pT7DZ0oqh2g8l5kcN2HUIjgV8p+dHKqthdxLY45yEdoV89ot6gM