5.2　一致的设定偏误检验

如前所述，线性检验只是条件均值模型设定检验中的一种特殊情况。因此，首先对一般模型设定偏误检验进行讨论是十分有用的，因为在实际中对所有偏离线性的检验中，一般设定偏误检验具有一致性。这意味着，一旦样本容量T使得原假设不再成立，那么，它们的幂将趋于1。为了做到这一点，假设 z 是一个m×1维的随机变量向量，同时，考虑了一类参数函数S＝{g（·, θ ）: θ ∈Θ}，其中， θ 是n×1维的参数向量。对于条件均值而言，能够正确设定一个对随机变量y进行解释的模型，当对于某个 θ 0 ∈Θ，使得

E（y| z ）=g（ z , θ 0 ）

例如，如果正确的设定形式是线性的，则g（ z , θ 0 ）= z ′ θ 0 。令 是关于 θ * 的一致估计量序列，也就是说，当T→∞时，依概率， 。如果模型设定正确，则 θ * = θ 0 ，但是，通常 θ * ≠ θ 0 。有时，参数 θ * 被称作“伪真”参数。

现在，定义ε=y-g（ z , θ * ）。如果模型设定正确，则E{ε| z }＝0。那么，对于y和g，在恰当的条件下，则存在一组检验函数 ={h（ z ）:E{ε|h（ z ）}=0}，其每个函数都可用作线性检验的基础。如果出现一个单一检验函数h（ z ）∈ ，使得E{ε|h（ z ）}≠0，则模型设定不正确，在这种情况下，模型是非线性的。严谨的论述请参阅Stinchcombe和White（1998）。这意味着正确的模型设定应建立如下原假设

备择假设为

问题在于如何定义检验函数 ，Bierens（1990）阐释了如果 z 是有界的，则集合 具有性质：如果E{ε| z }≠0，则存在一个 ，使得E{ε|h τ （ z ）}≠0。其中，τ是随机的。事实上，对于绝大多数 的值，这个结果都是成立的。

Bierens（1990）的检验基于 ，即E{ε|h（ z ）}的等价样本，其中， 。他的检验表明，当原假设有效时，在正则性条件下，对于任一给定的 （可忽略不计的子集除外）， 的分布趋于自由度为1的χ 2 分布，其中， 是一个恰当的方差估计量（参阅第7.3.1节）。对于所有的 τ 0 ，这个检验是一致的。但是，在有限的样本中，检验效果对 τ 0 的选择有较强的依赖。这个矢量可视为仅在备择假设下才出现的冗余参数。解决这个问题的方法将在第5.5节进行讨论。

很多函数都可用于构建一致的设定偏误检验， 只是其中之一。Stinchcombe和White（1998）定义了实解析函数类a（ z ′ τ ）∈ ，也就是无限可微且可由收敛的泰勒级数局部定义的函数。在这样的定义下， z 具有截距且有界，同时，τ的定义与先前的定义一样，是随机的。 函数族和 函数族有着相同的性质：它们近似地显示了任何偏离正确设定的原假设式（5-1）的偏差。值得注意的是，这个结果中排除了多项式的情形。关于这些问题的更详细的探讨，可参阅Stinchcombe和White（1998）的文献。

所有这些都表明，存在大量的函数可以替代Bierens的检验统计中的指数函数。而且，这些函数的一个线性组合也是 里的一员。例如，考虑“神经网络函数”的集合

其中，G（ τ ′ j z ）是一个逻辑函数，因此，也如式（3-23）一样，它是解析函数。假设 τ j ≠ 0 ，j=1,…,q，且a（ τ ′ z ）包含附加的截距（β 0 ≠0），模型设定正确的原假设等价于β j =0，j=1,…,q，再次， τ j （j=1,…,q）是冗余参数向量。针对这个冗余参数问题，一种特殊的解决方法将会在第5.5.5节进行讨论。第7.3.1节将会对使用函数族进行一致的设定偏误检验的方法进行深入讨论，其中，也将指出它和非参数设定检验之间的联系。

一致性可能是线性检验的一个理想性质，但如果这组备择假设被限制于某一族非线性模型，则对于对这一特定族具有明显效果的检验而言，一致性是有用的。这些检验可能没有能力对所有偏离线性性加以验证，在这种情况下，它们不是一致的。 3eQzA9B9Vr93qF4XzOF5tiXKa70QrdFr7ya6H0bCQVtHXSWmbm8IWO/ggQeRU/Td