如前所述,线性检验只是条件均值模型设定检验中的一种特殊情况。因此,首先对一般模型设定偏误检验进行讨论是十分有用的,因为在实际中对所有偏离线性的检验中,一般设定偏误检验具有一致性。这意味着,一旦样本容量T使得原假设不再成立,那么,它们的幂将趋于1。为了做到这一点,假设 z 是一个m×1维的随机变量向量,同时,考虑了一类参数函数S={g(·, θ ): θ ∈Θ},其中, θ 是n×1维的参数向量。对于条件均值而言,能够正确设定一个对随机变量y进行解释的模型,当对于某个 θ 0 ∈Θ,使得
E(y| z )=g( z , θ 0 )
例如,如果正确的设定形式是线性的,则g(
z
,
θ
0
)=
z
′
θ
0
。令
是关于
θ
*
的一致估计量序列,也就是说,当T→∞时,依概率,
。如果模型设定正确,则
θ
*
=
θ
0
,但是,通常
θ
*
≠
θ
0
。有时,参数
θ
*
被称作“伪真”参数。
现在,定义ε=y-g(
z
,
θ
*
)。如果模型设定正确,则E{ε|
z
}=0。那么,对于y和g,在恰当的条件下,则存在一组检验函数
={h(
z
):E{ε|h(
z
)}=0},其每个函数都可用作线性检验的基础。如果出现一个单一检验函数h(
z
)∈
,使得E{ε|h(
z
)}≠0,则模型设定不正确,在这种情况下,模型是非线性的。严谨的论述请参阅Stinchcombe和White(1998)。这意味着正确的模型设定应建立如下原假设
备择假设为
问题在于如何定义检验函数
,Bierens(1990)阐释了如果
z
是有界的,则集合
具有性质:如果E{ε|
z
}≠0,则存在一个
,使得E{ε|h
τ
(
z
)}≠0。其中,τ是随机的。事实上,对于绝大多数
的值,这个结果都是成立的。
Bierens(1990)的检验基于
,即E{ε|h(
z
)}的等价样本,其中,
。他的检验表明,当原假设有效时,在正则性条件下,对于任一给定的
(可忽略不计的子集除外),
的分布趋于自由度为1的χ
2
分布,其中,
是一个恰当的方差估计量(参阅第7.3.1节)。对于所有的
τ
0
,这个检验是一致的。但是,在有限的样本中,检验效果对
τ
0
的选择有较强的依赖。这个矢量可视为仅在备择假设下才出现的冗余参数。解决这个问题的方法将在第5.5节进行讨论。
很多函数都可用于构建一致的设定偏误检验,
只是其中之一。Stinchcombe和White(1998)定义了实解析函数类a(
z
′
τ
)∈
,也就是无限可微且可由收敛的泰勒级数局部定义的函数。在这样的定义下,
z
具有截距且有界,同时,τ的定义与先前的定义一样,是随机的。
函数族和
函数族有着相同的性质:它们近似地显示了任何偏离正确设定的原假设式(5-1)的偏差。值得注意的是,这个结果中排除了多项式的情形。关于这些问题的更详细的探讨,可参阅Stinchcombe和White(1998)的文献。
所有这些都表明,存在大量的函数可以替代Bierens的检验统计中的指数函数。而且,这些函数的一个线性组合也是
里的一员。例如,考虑“神经网络函数”的集合
其中,G( τ ′ j z )是一个逻辑函数,因此,也如式(3-23)一样,它是解析函数。假设 τ j ≠ 0 ,j=1,…,q,且a( τ ′ z )包含附加的截距(β 0 ≠0),模型设定正确的原假设等价于β j =0,j=1,…,q,再次, τ j (j=1,…,q)是冗余参数向量。针对这个冗余参数问题,一种特殊的解决方法将会在第5.5.5节进行讨论。第7.3.1节将会对使用函数族进行一致的设定偏误检验的方法进行深入讨论,其中,也将指出它和非参数设定检验之间的联系。
一致性可能是线性检验的一个理想性质,但如果这组备择假设被限制于某一族非线性模型,则对于对这一特定族具有明显效果的检验而言,一致性是有用的。这些检验可能没有能力对所有偏离线性性加以验证,在这种情况下,它们不是一致的。