4.2　自协方差和谱

对于具有二阶矩的平稳时间序列{y t }，自协方差函数的定义可以表述为

γ（t）=cov（y t+s ,y s ）=E（y t+s -μ）（y s -μ）

其中，μ=Ey t 。假定 ，则给出的谱密度为

自协方差和谱在时间序列分析中已有着长久的应用。由于它们不依赖于分布假设，并且在某种程度上可以独立地进行分析，因此它们是非参数量。

在时间滞后期为t时，自协方差函数ρ（t）测度的是y t+s 和y s 之间的相关性，可记作ρ（t）=γ（t）/γ（0）=γ（t）/var（y t ）。除了可用于测度相关性之外，也可把ρ（t）和偏自相关函数一起使用，用以设定自回归移动平均ARMA模型，其中，偏自相关函数测度的是，在中间变量为y s+1 ,…, y t+s-1 保持不变时，y t+s 和y s 之间的偏相关系数，排除了y t+s 和y s 之间的间接影响。对于移动平均MA（q）过程，当t>q时，ρ（t）=0，表现为截尾。同理，对于自回归AR（p）模型，在滞后期大于p时，偏自相关系数等于0。在自回归移动平均ARMA（p，q）模型下，p和q的决定将更为困难，但AIC类准则（Akaike，1970，1973）能有所帮助，事实上，这也经常用于决定纯自回归AR过程或纯移动平均MA过程的阶数。如果p和q被视为近似自回归移动平均ARMA模型的阶数，并允许p和q随着观测容量的增加而变大，那么，用该准则会特别有效。

纵然，在本质上，γ（t）和ρ（t）是非参数，不过，也可以说，它们也与多元高斯分布有着内在联系，这是因为这一分布的相依性完全是通过相关系数函数刻画的。在许多其他情形下，这种相关系数函数有着致命的缺陷。最重要的是，在这当中有解释上的难度，或非线性模型中的相关性描述。而且，对于非高斯分布而言，ρ（t）的取值范围可能不能扩展至从-1到+1。

作为第一种缺陷的例子，考虑如下的简单ARCH模型

其中，0<b<1，{z t }是具有iid（0,σ 2 ）的随机变量的序列。显而易见，尽管y t+s 和y s 之间存在显著的相依性，但对于任何的t，只要t≠0，则必然有γ（t）=cov（y t+s ,y s ）=0。关于众多建立于不相关和独立区别之上的ARCH-GARCH模型的理论，将会在第8章进行讨论。

对于可缩小范围的第二个缺陷，可用对数正态分布说明。Shih和Huang（1992）已经证明，具有二元高斯分布N（μ x , μ y , σ x , σ y , ρ）的对数正态变量x和y，两者之间相关系数可能的最大值和最小值分别为

当使σ x 或σ y 中的一个保持不变，而另一个趋近于无穷大并保持不变时，则下界和上界将一同趋向于0。

谱的概念在时间序列分析中不可或缺，它起源于物理学科中对频率（以及多元序列相位）的直接物理解释。它也被用于计量经济学中，一个早期的参考可见Granger和Hatanaka（1964）的讨论。而且，依据零频谱密度的行为也简洁地用数学符号表述了长范围相依性，在第11.1节将会看到这方面的有关内容。但事实上，谱密度在本质上是线性概念。已有人试图通过借助高阶谱对非线性进行描述，诸如双频谱和三频谱，可参阅Subba Rao和Gabr（1984）、Terdik（1999）以及Patterson和Ashley（2000）的研究。正如将在第7.2节要讨论的，实际上，双谱已经用于进行线性性检验。然而，频域法，包括高阶谱，在非线性时间序列理论中影响相对较小。 as2sx4CnM18/6tewivzcPMhYBiOHUAKSQdthvBmTdTX316kL7HpxjovS3iCPrM4w