3.11　随机系数和波动性模型

如在第3.10节已经提到的，生成线性模型的一个方法是，用模型参数是随机的假设来替代模型参数是常数的假设。最简单的替代方法是参数形成一个独立同分布的随机变量的序列。于是产生了式（3-32）所示的模型

y t =θ 0 + θ ′ t z t +ε t , t=1,…,T

（3-32）

其中， z t 是m×1的解释变量向量，{ θ t }～iid（ θ , Ω ）， Ω 是一个正定矩阵，ε t ～iid（0,σ 2 ）。此外，对于所有的t和s,cov（ θ t ,ε s ）=0。Rao（1965）已经对 z t 是外生解释变量向量时的情形进行了研究。如果 z t =（y t-1 ,…,y t-m ）′，则把式（3-32）所表述的模型称为随机系数自回归模型。它的弱平稳性条件比具有固定系数的线性自回归AR模型要严格得多，Anděl（1976）首次对此进行了分析。记 θ t = θ + Φ t ，其中， E Φ t = 0 ，则可以把式（3-32）重新改写为

y t =θ 0 + θ ′ z t +v t

（3-33）

其中，v t =ε t + Φ ′ t z t 。在 E （v t | z t ）=0时，该模型通常被称为“带有条件异方差性的线性模型”，且

var（v t | z t ）=σ 2 + z ′ t Ω z t =σ 2 + σ ′ s t

其中， σ =（σ 1 ,…,σ m（m+1）/2 ）′， s t =vech（ z t z ′ t ）。半向量化算子“vech”堆栈主对角线以下的列向量方阵中的列，例如，可参阅Lutkepohl（1996，p.8）定义的相关概念（将会在本书后面章节出现的向量化算子“vec”堆栈所有列）。假设 σ = 0 的拉格朗日检验就是非常有名的White（1980）同方差检验。也可以解释为式（3-32）中常系数的检验。

现在假设式（3-33）是移动平均模型： z t =（ε t-1 ,…,ε t-m ）′，此外， Ω =diag（ω 1 ,…,ω m ）。那么

现在，称这个模型为有m阶自回归条件异方差的MA（m）模型。通常 θ = 0 ，在这种情况下，{y t }是不相关但非独立的观测序列，存在如式（3-34）所介绍的高阶相依。考虑如下模型

其中，{ζ t }～iid（0,1）， 是ε t 的条件方差，给定 。这个模型与 θ = 0 时的模型式（3-33）具有相同的均值和条件方差。实际上，这就是Engle（1982）提出的m阶自回归条件异方差性（ARCH）模型。如果假定 Ω 是非对角的，那么，式（3-35）的h t 具有Tasy（1987）提出的表述式

其中， ε t-1 =（ε t-1 ,…,ε t-m ）′。

令式（3-35）中的m→∞，引进参数约束，使得无限阶移动平均随机系数模型与广义自回归条件异方差性模型（GARCH）相联系，可参阅Bollerslev（1986）的有关讨论。例如，定义ω j =αβ j-1 ,j=1,2,…，其中，α>0,0<β<1，得到一阶GARCH模型为 。总的来说，方程式

给出了GARCH（p，q）模型的定义。第8章将会对ARCH和GARCH模型做更多的讨论。对于随机系数模型的估计，读者可以参考Harvey（2006）的讨论。

如在前面章节所提到的，可以把式（3-32）中的iid序列{ θ t }扩展为更一般的随机过程。在文献中受到广泛关注的特殊情况是式（3-32）中的过程{ θ t }是无漂移的随机游走过程，也就是说，{Δ θ t }是具有零均值和已知有限方差的正态独立变量的序列。这是对参数恒定性的检验的可替代选择，可参阅第6.4.4节。在实践中，还存在另一个不太受欢迎的假设，即{ θ t }是平稳向量自回归的模型。同样，也可以针对该备择选择对式（3-32）中参数恒定性进行检验，可参阅第6.4.6节。 BRWs7KwZC37awmpHhEkPr2iqyRVIrU3Yk+p8fkN7jqeaPs1f+KwpxlqVUDY4AXGm