3.8　非线性移动平均模型

相对一般的q阶非线性移动平均模型可以定义如下

y t =f（ε t-1 ,ε t-2 ,…,ε t-q ; θ ）+ε t

其中，{ε t }～iid（0,σ 2 ）。这些模型的问题之一在于它们的可逆条件可能是未知的。由于不可逆模型不能在预测中发挥作用，因此，这就限制了这些模型的实际作用。这些模型的另一个一般特征为：如果模型是可逆的，则该模型的提前步数多于q步的预测值等于y t 的无条件均值。作为非线性移动平均模型的一个例子，考虑Wecker（1981）的非对称移动平均模型。它的表达式为

其中，{ε t }～iidN（0,σ 2 ）。当至少存在一个j（j=1,…,q）使得ψ j ≠0，则这个模型具有的性质为相同幅度的正负冲击对y t 的影响是非对称的。在宏观经济运用中，由于在q个周期之后，任何冲击的影响效应将完全消失，这将对模型的吸引力产生不利影响。

Brännäs和de Gooijer（1994）把式（3-28）扩展为包含线性自回归部分，并称这个模型为自回归非对称移动平均（ARasMA）模型。在这个模型中，冲击的影响更持久。相应地，对于ARasMA模型的点预测而言，在提前q步预测之后，任何更进一步的预测，与通过相应的线性AR模型所获得的预测结果相比，两者具有相同的模式。此外，在超过提前q步之后的预测密度总是对称的。Brannas和Ohlsson（1999）考虑了时间聚合下的ARasMA模型的性质。

Tong（1990，p.101）通过把转换移动平均成分合并到TAR模型中，提出了门限自回归—移动平均模型。这个模型具有如下形式的表达式

其中， θ j =（θ j1 ,…,θ jq ）′,ε jt =σ j ε t ，与式（3-4）一样，且对于所有的j=1,…,r，ε t ～iid（0,1）,ε j,t-1 =σ j （ε t-1 ,…,ε t-q ）′。在式（3-29）中满足 Φ ′ j z t =Φ 0j , j=1,…,r的纯粹门限移动平均（TMA）模型越来越受到关注。请注意，在TMA模型中，门限变量仍然是y t 的一个滞后项，而不是ε t 的滞后项。de Gooijer（1998）考虑了TMA模型的构建，同时，他们以设定和估计美国实际国民生产总值季度序列的TMA模型作为解释和说明。Ling和Tong（2005）讨论了针对TMA模型（一个移动平均模型）的线性检验。Ling等（2007）则专注于TMA模型遍历性和平稳性的证明结果。如在第3.1节已经提到的，Breidt等（2005）已经证明，即使是简单的一阶线性移动平均MA模型，在非高斯情形下，也可以产生一些令人惊讶的结果。 UKzKkfgZqYkA7/3AzlxJV8j8Ei/1BZO04Xyxc9Nil5M6l3ekWJh4VFdm5am5E+iv